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1、7年级数学上册（人教版）试题、练习及答案初中数学竞赛精品标准教程及练习（33）同一法一、内容提要1.“同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。2.同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。互逆两个命题一般是不等价的。例如原命题：福建是中国的一个省（真命题）逆命题：中国的一个省是福建（假命题）但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如原命题：中国的首都是北京（真命题）逆命题：北京是中国的首都（真命题）因为世界上只有一个中国，而且中国只
2、有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又如原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题）逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题）因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。3.釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是： 作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立） 证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）二、例题例1. 求证三角形的三条中线相交于一点已知：ABC中，AD，BE，CF都是中线求证：AD，BE，CF相交于同一点分析：在证明AD和BE
3、相交于点G之后，本应再证明CF经过点G，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交AB于F，证明CF，就是第三条中线（即证明AF，F，B）证明：DABEBA180AD和BE相交，设交点为G连结并延长CG交AB于F，连结DE交CF，于MDEAB， 即， 即， AF，BF，AF，是BC边上的中线，BC边上的中线只有一条， AF，和AD是同一条中线AD，BE，CF相交于一点G。例2.已知：ABC中，D在BC上，AB2AC2BD2DC2求证：AD是ABC的高分析：从题设AB2AC2BD2DC2证明结论不易，因为BC边上的高是唯一的，所以拟用同一法，先作出AEBC，证明在题设的条件
4、下AE就是AD。证明：作AEBC交BC于E A根据勾股定理AB2AC2（AE2BE2）（AE2EC2） BE2EC2AB2AC2BD2DC2BEDCBD2DC2 BE2EC2（BDDC）（BDDC）（BEEC）（BEEC）BDDCBEEC BDDCBEEC：2BD2BE即点D和点E重合，即AD是ABC的高例3如图已知：四边形ABCD中，ABDADB15CBD45，CDB30求证：ABC是等边三角形证明：在BC或延长线上取点E，使BEAB连结AE，DE，则ABE是等边三角形AEABAD，EAD1506090，ADE45ADC45，且DE，DC在DA的同一侧，DE和DC重合，它们与BC边的交点E，
5、C也重合ABC是等边三角形例4.求证：1分析：直接证法，一般是把左边写成再化简为1，但没有成功。拟用同一法，可认为要证明的原命题是：有两个数，它们积是1，则它们的和是1那么逆命题是：若u+v=1,且uv=1，则u=,v=证明：设u+v=1,且uv=1，根据韦达定理的逆定理（初三教材）得u,v是方程x2x10的两个根x=,即u,v分别等于，而u3=（）32，v3=（）32u=,v=即1例5.已知：ACD是圆的割线，点B在圆上，且AB2ACAD求证：AB是圆的切线证明：过点B作圆的切线，交DC于A1，则CBA1D由已知AB2ACAD，则，AAACBABDCBAD，CBA1CBABA和BA1重合，它
6、们与DC的交点是同一个点即AB是圆的切线。例6.以ABC的三个顶点为圆心，作三个圆两两外切，切点分别是D，E，F，那么过D，E，F的圆是ABC的内切圆。分析：用同一法证明，作出ABC的内切圆，再证明三个切点和D，E，F重合证明：作ABC的内切圆和AB，BC，CA分别切于D，E，F，根据切线长定理，得AD，AF，BE，BD，CF，CE，设A,B，C半径长分别为x,y,z,解得，x=,y=,z=AD，AD，BE，BE，CF，CF即D，与D，E，与E ， F，与F重合。ABC的内切圆和各边切于D，E，F即过D，E，F的圆是ABC的内切圆。三、练习331. 用同一法证明： 三角形的中位线平行于第三边
7、梯形中位线平行于两底2. 已知E是正方形ABCD内的一点，EABEBA15求证ECD是等边三角形3. 已知ABC中，ABAC，A36，在AC上取点D，使ADBC求证BD是ABC的平分线4. 如果梯形的一条腰等于两底和，那么夹这条腰的两个角的平分线的交点，必是另一腰中点5. ABC中， CRt，ACBC，点D在AC上，且CDABBC求证BD平分ABC6. 正方形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，DEAM于E，求证点N在DE的延长线上7. 已知：四边形ABCD中，E，F和GH分别三等分AB和CD，M和N分别是BC，AD中点，ND求证：A MN平分EH和FG EH MN被EH，FG三等分FG
8、BMC8.已知：矩形ABCD中，AB2BC，点E在CD上，且CBE15求证：AEAB9.已知：AD是四边形ABCD外接圆O的直径，ABC120ACB45点P在CB的延长线上，且PB2BC求证：PA是O的切线10.已知：H是ABC的垂心（三条高的交点），过H，B，C三点作O，延长ABC的中线AM交O于D求证：AMMD AOODCBP练习33参考答案：1. 过一边中点作底边的平行线，证它经过另一边中点2. 以CD为一边向形内作等边E1CD，证E1ABE1BA153. 作ABC的平分线，证它与BD重合4. 取另一腰的中点，5. 同3，作ABC的平分线，证它与BD重合6. 延长DE交BC于N，证明N，
9、是BC的中点7. 取EH的中点P，FG的中点Q，则PFMG和QHNE都是平行四边形，PM过FG中点，QN过EH中点，M，Q，P，N是同一直线8. 作等腰三角形ABE1交CD于E1，证明E1和E是同一点。9. 过点A作O的切线交CB于P1，证明这P1B2BC设AD2R，可得ACR，ABR，P1AB这P1CA，10. 延长AM到D，使MD，AM，证明点D，在圆上。即B，H，C，D，四点共圆。试题使用说明各位使用者:本试题均是经过精心收集整理，目标是为广大中小学教师或家长在教学或孩子教育上提供方便！附：如何养成良好的数学学习习惯 “习惯是所有伟人的奴仆，也是所有失败者的帮凶伟人之所以伟大，得益于习惯的鼎力相助，失败者之所以失败，习惯的罪责同样不可推卸”由此可知，良好的数学学习习惯是提高数学成绩的制胜法宝良好的数学学习习惯有哪些呢？初中数学应该从课堂学习、课外作业和测试检查等方面养成良好的学习习惯一、课堂学
