《2019高考数学（理） 专题2 第4讲 数列求和与综合问题附解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高考数学（理） 专题2 第4讲 数列求和与综合问题附解析（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4讲数列求和与综合问题高考统计定方向题型1数列中的an与Sn的关系(对应学生用书第22页)核心知识储备1数列an中，an与Sn的关系an2求数列an通项的方法(1)叠加法形如anan1f(n)(n2)的数列应用叠加法求通项公式，ana1(a2a1)(anan1)a1f(2)f(n)(和可求)(2)叠乘法形如f(n)(n2)的数列应用叠乘法求通项公式，ana1a1f(2)f(3)f(n)(积可求)(3)待定系数法形如anan1(n2，1，0)的数列应用待定系数法求通项公式，an.高考考法示例【例1】(1)(2018巴蜀适应性月考)数列an中，a11，an1Sn3n(nN*，n1)，则数列Sn的
2、通项公式为_(2)(2018锦州市模拟)已知数列an的前n项和为Sn，an0，a11，且2anan14Sn3(nN*)求a2的值并证明：an2an2；求数列an的通项公式(1)Sn3n2nan1Sn3nSn1Sn，Sn12Sn3n，1，又11，数列是首项为，公比为的等比数列，1，Sn3n2n.(2)解令n1得2a1a24a13，又a11，a2.由2anan14Sn3，得2an1an24Sn13.即2an1(an2an)4an1.an0，an2an2.由可知：数列a1，a3，a5，a2k1，为等差数列，公差为2，首项为1，a2k112(k1)2k1，即n为奇数时，ann.数列a2，a4，a6，a
3、2k，为等差数列，公差为2，首项为，a2k2(k1)2k，即n为偶数时，ann.综上所述，an方法归纳由Sn与an的递推关系求an的思路1利用a1S1，求出a1.2利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；或者转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.提醒：在利用anSnSn1(n2)求通项公式时，务必验证n1时的情形看其是否可以与n2的表达式合并对点即时训练1数列an中，a11，对任意nN*，有an11nan，令bi(iN*)，则b1b2b2 018( )ABCDDan1n1an，an1an1n，anan1n，ana1(a2a1)(anan1)12n，b
4、n2，b1b2b2 01821，故选D2数列an满足，a1a2a3an2n1，则数列an的通项公式为_an因为a1a2a3an2n1，所以a1a2a3an12(n1)1，两式相减得an2，即an2n1，n2.又a13，所以a16，因此an题型2求数列an的前n项和(对应学生用书第23页)核心知识储备1分组求和法：将数列通项公式写成cnanbn的形式，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列2裂项相消法：把数列与式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中an为等差数列)等形式的数列求和3错位相减法：形如anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的
5、数列求和，一般分六步：Sn；qSn；差式；和式；整理；结论高考考法示例角度一分组求和法【例21】(2018昆明市教学质量检查)已知数列an中，a13，an的前n项和Sn满足：Sn1ann2.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足：bn(1)n2an，求bn的前n项和Tn.解(1)由Sn1ann2得Sn11an1(n1)2则得an2n1.当a13时满足上式，所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)得bn(1)n22n1，所以Tnb1b2bn(232522n1)(4n1)【教师备选】(2018石家庄三模)已知等差数列an的首项a12，前n项和为Sn，等比数列bn的首项b11，且
6、a2b3，S36b2，nN*.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)数列cn满足cnbn(1)nan，记数列cn的前n项和为Tn，求Tn.解(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q.a12，b11，且a2b3，S36b2，解得an2(n1)22n，bn2n1.(2)由题意：cnbn(1)nan2n1(1)n2n.Tn(1242n1)2468(1)n2n，若n为偶数：Tn(24)(68)2(n1)2n2n122nn1.若n为奇数：Tn(24)(68)2(n2)2(n1)2n2n122n2nn2.Tn角度二裂项相消法求和【例22】(2015全国卷)Sn为数列an的前n项和已知an0，a2a
7、n4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.两式相减可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.【教师备选】(2018郑州第三次质量预测)已知数列an的前n项和为Sn，a12，且满足Snan1n1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若bnlog3(an1)
8、，设数列的前n项和为Tn，求证：Tn.解(1)由Snan1n1(nN*)，得Sn1ann(n2，nN*)，两式相减，并化简，得an13an2，即an113(an1)，又a112130，所以an1是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an1(3)3n13n.故an3n1.(2)证明：由bnlog3(an1)log33nn，得，Tn11.角度三错位相减法求和【例23】(2018合肥教学质量检测)已知等比数列an的前n项和Sn满足4S53S4S6，且a39.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(2n1)an，求数列bn的前n项的和Tn.解(1)设等比数列an的公比为q.由4S53S4S6，得S6
9、S53S53S4，即a63a5，q3，an93n33n1.(2)由(1)得bn(2n1)an(2n1)3n1，Tn130331532(2n1)3n1，3Tn131332(2n3)3n1(2n1)3n，得2Tn12(31323n1)(2n1)3n12(2n1)3n22(n1)3n，Tn(n1)3n1.【教师备选】(2018石家庄教学质量检测)已知数列an满足：a11，an1an .(1)设bn，求数列bn的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.解(1)由an1an 可得.又bn，bn1bn，由a11，得b11，累加可得：(b2b1)(b3b2)(bnbn1)，化简并代入b11得：bn2.(2
10、)由(1)可知an2n，设数列的前n项和为Tn，则TnTn得Tn2，Tn4.又数列2n的前n项和为n(n1)，Snn(n1)4.方法归纳数列求和的注意事项1分组求和法求和时，当数列的各项是正负交替时，一般需要对项数n进行讨论2裂项相消法的关键在于准确裂项，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等，把握相消后所剩式子的结构前面剩几项，后面剩几项3错位相减法中，两式做减法后所得式子的项数及对应项之间的关系，求和时注意数列是否为等比数列或是从第几项开始为等比数列对点即时训练已知等差数列an的前n项和为Sn，且a11，S3S4S5.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1anan1，求数列
11、bn的前2n项和T2n.解(1)设等差数列an的公差为d，由S3S4S5，可得a1a2a3a5，即3a2a5，故3(1d)14d，解得d2.an1(n1)22n1.(2)由(1)可得bn(1)n1(2n1)(2n1)(1)n1(4n21)T2n(4121)(4221)(4321)(4421)(1)2n14(2n)21412223242(2n1)2(2n)24(12342n12n)48n24n.题型3数列中的创新与交汇问题(对应学生用书第24页)近几年新课标高考对该知识的命题主要体现在以下两方面：一是新信息情境下的数列问题，此类问题多以新定义、新运算或实际问题为背景，主要考查学生的归纳推理解决新问题的能力；二是创新命题角度考迁移能力，题目常与函数、向量、三角、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用高考考法示例角度一新信息情境下的数列问题【例31】(2017全国卷)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是(
