《高二数学精品教案：1.1 2 基本计数原理和排列组合（选修2-3）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学精品教案：1.1 2 基本计数原理和排列组合（选修2-3）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一. 本周教学内容：选修23 基本计数原理和排列组合二. 教学目标和要求 1. 掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能用两个计数原理解决一些简单的问题。 2. 理解排列和组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式，组合数公式，并解决简单的实际问题。 3. 让学生体会思想与方法，培养学生分析问题，解决问题的能力，激发学生学习的兴趣。注意问题的转化，分类讨论，注重数形结合，学会从不同的切入点解决问题。三. 重点和难点重点：两个基本计数原理的内容；排列和组合的定义，排列数和组合数公式及其应用难点：两个计数原理的应用和应用排列组合数公式解决实际的问题四. 知识要点解析来源:1. 两个基本计数原理（
2、1）分类加法计数原理：做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的办法在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有Nm1m2mn种不同的方法 （2）分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的办法做第n个步骤有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有Nm1m2mn种不同的方法说明：（1）两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法（2）考虑用哪个计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定
3、是分类还是分步。如果完成一件事情有n类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果完成一件事情，需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理 （3）在解决具体问题，要弄清是“分步”，还是“分类”，还要弄清“分步”或者“分类”的标准是什么，注意分类，分步不能重复，不能遗漏 2. 排列问题（1）排列的定义：一般的，从n个不同的元素中任取m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列说明：定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”一个排列就是完成一件事情的一种方法不同的排列
4、就是完成一件事情的不同方法两个排列相同，需要满足两个条件：一是元素相同，二是顺序相同从n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，记作（2）排列数的定义：从n个不同的元素中任取m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中任取m个元素的排列数。用符号 （3）排列数公式：（读作n的阶乘），0！1 说明： 公式右边是m个从大到小的连续正整数之积，最大的因数是n，最小的因数是nm1n的阶乘是正整数n到1的连乘积3. 组合问题（1）组合的定义：一般地，从n个不同的元素中任取m（mn）个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 说明： 如果两个组合中元素完全
5、相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合当两个组合中元素不完全相同，就是不同的组合排列和组合的区别：排列和顺序有关，而组合和顺序无关（2）组合数定义：从n个不同的元素中任取m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中任取m个元素的组合数。用符号 （3）组合数公式： （4）组合数的两个性质： 4. 排列和组合的关系：（1）二者区别的关键：是否和顺序有关（2）二者的联系： 5. 解决站队和组数的常用方法：（1）特殊位置（或元素）优先考虑法：解决在与不在的问题（2）捆绑法：解决元素相邻的问题（3）插空法：解决元素不相邻的问题（4）间接法：先总体考虑，后排除不符合条件的，转化问题【典型例题】例
6、1. （1993年全国高考） 同室4人各写一张贺年卡片，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡片，则4张贺年卡片不同的分配方式有：（ ） A. 6种B. 9种C. 11种D. 23种 错解： 32116 选（A） 3221111 选（C） 3222123 选 （D） 错解原因：由于本人不能拿自己写的卡片这一限制条件，导致它们之间有过多的相互影响的限制，因此三种解法都没有能全面考虑。有的重复有的遗漏，思路不清晰，从而错解本题。 由于本题4这个数目不大，设4人分别编号甲，乙，丙，丁，4人对应卡片分别编号1，2，3，4，我们可以采用穷举法逐一列举如下：2 1 4 3 2 3 4 1 2 4
7、1 33 1 4 2 3 4 2 1 3 4 1 24 1 2 3 4 3 1 2 4 3 2 1共有9种，所以正确答案选（B）来源:分析：建立数学模型将贺年卡片的分配问题转化为数学问题，用1，2 ，3，4这4个数字组成无重复的四位数，其中1不在千位，2不在百位，3不在十位，4不在个位的4位数共有多少个？思路：用乘法原理，千位只能放2，3，4三种；在放过数字2后，百位只能放1，3，4三种，后两位已经确定。类似的，当千位数字是3，十位只能放1，2，4，其余也已确定 3319 ，共有9种，所以正确答案选（B）评析：要分析清楚它们之间的关系，注意问题的转化，和数学问题联系起来，建立数学模型。来源:例
8、2. （2003年全国高考文科）将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 种（以数字作答）错解：按照乘法原理3222248种错解原因：这48种里面有不符合条件的，设三种作物为ABC，例如下面情况是存在的ABABA，BABAB只有两种作物，不符合题意，共有种正确解法：48642种例3. 从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学，物理，化学和英语竞赛，每名学生只能参加一科竞赛，且任2名同学不能参加同一科竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方案，问一共有多少同学？分析：若设共有n名同学，则我们可以用n把参赛方法总数
9、表示出来，这种实际上就是得到了一个关于n的方程，解方程即可求出n的值解：设共有n名同学，首先从这n名同学中选出4人，然后再分别参加竞赛，按同学甲分类：第一类，不选甲，则从剩下的n1名同学中选出4人分别参加4科竞赛，有种参赛方式；第二类，选甲，首先安排甲，有种方法，再从剩下的n1名同学中选出3人参加剩下的3科竞赛，有种方法，共有种参赛方式，所以根据分类计数原理，一共有种方法，根据题意得72，解得n5来源:评析：对于这类较为复杂的问题，我们往往感到无从下手，如果，从竞赛学科的角度来思考，则需要分很多种情况，容易出错。这时我们可以采用“先取后排”的原则：即首先取出符合条件的元素，再按要求把它们排起来
10、，这样解答比较条理，有利于问题的解决。同学们在思考这个问题时，关键是要理清思路，注意问题的转化，不要“一条道走到黑”，不要“钻牛角尖”。当然这道题也可采用“先特殊后一般”的原则解决，大家不妨一试。例4. 用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的（1）五位数 （2）五位奇数 （3） 五位偶数 （4）数字0不选上，但数字2，3必须选上且相邻的五位数解：（1）首位是特殊位置，按照特殊位置优先考虑的方法，第一步：首位共有方法，第二步：从剩余的9个数字（包括数字0）中选取4个排列，共有种方法 根据乘法原理：共有27216种（2）填空法思路一：首位和末位都是特殊位置，如果先考虑首位，则有首位是奇数和
11、偶数两种情况，分类讨论：首位奇数，则有种，末位为奇数有种，其余种，所以共有6720种方法。首位偶数，不能为0，则有种，末位为奇数有种，其余种，所以共有6720种方法，则共有13440种思路二：先确定末位为奇数，有种，首位不能为0，则有种，其余种，所以共有13440种分析：两个特殊位置中末位更特殊，注意分析，有利于解决问题，在这里我详细分析，注意体会，并在解题中加以应用。（3）思路一：末位偶数，分两类：末位是0，则首位有种，其余有；末位不是0，有种， 则首位有种，其余有，所以共有13776种思路二：（间接法）利用五位数的方法数27216种，减去五位奇数的方法数13440种，所以共有2721613
12、44013776种（4）数字0不选上，但数字2，3必须选上且相邻的五位数第一步：选元素，数字2，3必须选上，然后再选择3个元素，有种第二步：排顺序，把2，3看成一个元素，俗称“捆绑”，共有4个元素排顺序，有种，但，2，3两元素还有顺序，有种所以共有1680种分析：该例题涉及组数，关键分清题目中的条件的限制，常用方法就是，特殊位置（元素）优先考虑，优先安排；相邻问题可以用捆绑法；不相邻问题可以用插空法；直接来求情况较多，也可以用间接法。只有理解了题意，明白题目的意图，这些方法才能熟练应用。 思考：如何解决这个问题？用1到9这九个数组成九位数，要求偶数不能相邻，问有多少种不同的排法？例5. 六本不
13、同的书，根据下列条件分配，各有多少种不同的分配方案？（1）甲两本，乙两本，丙两本（2）甲一本，乙两本，丙三本（3）一人一本，一人两本，一人三本（4）平均分成3堆解：（1）有编号，有分步计算原理得种 （2）有编号，甲有，乙有，丙有，所以共有60种（3）无编号，先分组后分配给甲乙丙，分组有，分配有，所以共有360种 （4）平均分组种【模拟试题】一、选择题1. 已知椭圆的焦点在y轴上，且，这样的椭圆共有（ ）个 A. 9B. 12C. 15D. 302. 某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球队打完15场比赛，积分33分，若不考虑顺序，该队胜平负的情况共有（ ）种
14、 A. 3B. 4C. 5D. 63. （1991年全国高考） 从4名甲型和5名乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，不同的取法共有（ ）种 A. 140B. 84C. 70D. 354. 四个不同的小球放入编号1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的方法共有（ ）种 A. 288B. 144C. 72D. 以上都不对5. 四面体的和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法有（ ）种 A. 150B. 147C. 144D. 1416. 八个不同颜色的小球已平均分装在4个箱子中，现从不同的箱子中取出2个彩球，则不同的取法共有（ ）种 A. 6B. 12C. 24D. 287. 每天上午有4节课，下午2节课，安排5门不同的课程，其中安排一门课两节连在一起上，则一天安排不同课程的种数为（ ） A. 96B. 120C. 480D. 6008. 五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（ ）种 A. 120B.
