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1、 1 安徽省安庆市第十中学安徽省安庆市第十中学 2018 20192018 2019 学年高二数学下学期第一次月考学年高二数学下学期第一次月考 开学 试题 开学 试题 理理 评卷人 得分 一一 单选题单选题 每题每题 5 5 分分 共共 6060 分分 1 下列有关命题的说法错误的是 A 命题 若则 x 1 的逆否命题为 若则 B x 1 是 的充分不必要条件 C 若为假命题 则 p q 均为假命题 D 对于命题 p 使得 则均有 2 已知双曲线的离心率为 2 则双曲线的渐近线方程为 22 22 1 0 0 xy Cab ab C A B C D yx 3 3 yx 3yx 2 2 yx 3
2、已知 A B C 三点不共线 对于平面 ABC 外的任一点 O 下列条件中能确定点 M 与点 A B C 一 定共面的是 A B C D 4 设点 M 0 5 N 0 5 MNP 的周长为 36 则 MNP 的顶点 P 的轨迹方程为 A y 0 B x 0 C y 0 D x 0 5 若命题 p 的否命题为 q 命题 q 的逆命题为 r 则 r 是 p 的逆命题的 A 原命题 B 逆命题 C 否命题 D 逆否命题 6 如图所示 在正三棱锥 V ABC 中 D E F 分别是 VC VA AC 的中点 P 为 VB 上任意一点 则 DE 与 PF 所成的角的大小是 2 A 30 B 90 C 6
3、0 D 随 P 点的变化而变化 7 已知双曲线的焦点在 x 轴上 焦距为 且双曲线的一条渐近线与直线平行 则双曲线的标准方程为 A B C D 8 将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a 和虚半轴长 b a b 0 同时增加 m m 0 个单位长度 得到离心率为 e2的双曲线 C2 则 A e1 e2 B e1e2 D e1 e2之间的大小不确定 9 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD 四边形 ABCD 是直角梯形 BAD ADC 90 E 为 CB 的中点 AB PA AD 2CD 则 AP 与平面 PDE 所成角的正弦值为 A B C D 10 命题 p 函数 y
4、loga ax 3a a 0 且 a 1 的图像必过定点 4 1 命题 q 如果函数 y f x 的图像关于点 3 0 对称 那么函数 y f x 3 的图像关于点 6 0 对称 则 A p q 为真 B p q 为假 C p 真 q 假 D p 假 q 真 11 已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F A B 为抛物线上两点 若O 为坐标原点 则 AOB 的面 积为 A B C D 12 已知双曲线 a b 0 的左 右焦点分别是 F1 F2 过 F2的直线交双曲线的右支于 P Q 两点 若 PF1 F1F2 且 3 PF2 2 QF2 则该双曲线的离心率为 A B 3 C 2 D 评卷人 得
5、分 二二 填空题填空题 每题每题 5 5 分分 共共 2020 分分 13 已知点 A B C 的坐标分别为 0 1 0 1 0 1 2 1 1 点 P 的坐标为 x 0 z 若 PA AB PA AC 则点 P 的坐标为 14 双曲线 a 0 b 0 的右焦点为 F B 为其左支上一点 线段 BF 与双曲线的一条渐近线 相交于 A 且 其中 O 为坐标原点 则该双曲线的离心率为 15 边长为 1 的等边三角形中 沿边高线折起 使得折后二面角ABCBCADBADC 为 60 点到平面的距离为 DABC 16 已知椭圆的右焦点为 设 A B 为椭圆上关于原点对称的两点 AF 的中点为 M BF
6、的中点为 N 原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上 若直线 AB 的斜率 k 满足 则椭圆离心率 e 的取值范围为 评卷人 得分 三 解答题 三 解答题 共共 7070 分 分 17 已知p 方程表示双曲线 q 斜率为k的直线l过定点P 2 1 且与抛物线y2 4x 有两个不同的公共点 若 p q 是真命题 求实数 k 的取值范围 10 分 18 已知动圆过定点 P 4 0 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8 1 求动圆圆心 C 的轨迹方程 2 过点 2 0 的直线 l 与动圆圆心 C 的轨迹交于 A B 两点 求证 是一个定值 12 分 19 如图所示 在四棱锥 E ABCD 中 四
7、边形 ABCD 是平行四边形 BCE 是等边三角形 ABE 是 等腰直角三角形 BAE 90 且 AC BC 4 1 证明 平面 ABE 平面 BCE 2 求二面角 A DE C 的余弦值 12 分 20 已知斜率为 k 的直线 l 经过点 1 0 且与抛物线 C y2 2px p 0 p 为常数 交于不同的两 点 M N 当 k 时 弦 MN 的长为 1 求抛物线 C 的标准方程 2 过点 M 的直线交抛物线于另一点 Q 且直线 MQ 经过点 B 1 1 判断直线 NQ 是否过定点 若 过定点 求出该点坐标 若不过定点 请说明理由 12 分 21 如图 在四棱锥 P ABCD 中 侧面 PA
8、D 底面 ABCD 侧棱 PA PD PA PD 底面 ABCD 为直角 梯形 其中 BC AD AB AD AB BC 1 O 为 AD 的中点 1 求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值 2 线段 PD 上是否存在一点 Q 使得二面角 Q AC D 的余弦值为 若存在 求出的值 若不存 在 请说明理由 12 分 22 已知椭圆 C a b 0 的离心率为 以坐标原点 O 为圆心 椭圆 C 的短半轴长为半 径的圆与直线 x y 0 相切 A B 分别是椭圆 C 的左 右顶点 直线 l 过 B 点且与 x 轴垂直 1 求椭圆 C 的标准方程 2 设 G 是椭圆 C 上异于 A B 的任意
9、一点 过点 G 作 GH x 轴于点 H 延长 HG 到点 Q 使得 HG GQ 连接 AQ 并延长交直线 l 于点 M N 为线段 MB 的中点 判断直线 QN 与以 AB 为直径的 圆 O 的位置关系 并证明你的结论 12 分 5 1 C 解析 A 中命题的逆否命题需将条件和结论交换后分别否定 B 中方程 x2 3x 2 0 的根 为 x 1 x 2 因此 x 1 是 x2 3x 2 0 的充分不必要条件 C 中 p q 为假命题 则 p q 至 少有一个是假命题 D 中特称命题的否定是全称命题 2 C 解析 双曲线的方程是 双曲线渐近线为 又 22 22 1 0 0 xy ab ab b
10、 yx a 离心率为 可得 即 可得 由此2 c e a 2ca 22 4ca 222 4aba 3ba 可得双曲线渐近线为 故选 C 3yx 3 D 解析 由题意 点 与点共面 则 只有选项 D 满足 故选 D 4 B 解析 由题意 MNP 的周长为 36 M 0 5 N 0 5 MN 10 PM PN 26 可知点 P 的轨迹是以 M N 为焦点 长轴长为 26 除去长轴的两个端点的椭圆 所以点 P 的轨迹方程为 1 x 0 故选 B 5 C 解析 根据四种命题的关系 命题 p 的否命题为 q 命题 q 的逆命题为 r 则 r 是 p 的逆 否命题 所以 r 是 p 的逆命题的否命题 故选
11、 C 6 B 解 析 设 a b c 则 a b c D E F 分 别 是 VC VA AC 的中点 c a 连接 VF 则 c a 点 P 在 VB 上 可设 t c a tb 所以 c a c2 a2 t c b a b 0 DE 与 PF 所成的角的大小是 90 故选 B 7 A 解析 不妨设双曲线的标准方程为 所以 且 所以 双曲线的标准方程为 选 A 8 B 解析 由 a b 0 0 可得 又 e1 e2 6 e1 e2 故选 B 9 C 解析 以 A 为原点 AD AB AP 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系 设CD 1 则P 0 0 2 D 2 0 0
12、 E A 0 0 0 0 0 2 2 0 2 设平面 PDE 的法向量为 n a b c 则取 a 3 得 n 3 2 3 设AP与平面PDE所成的角为 则sin AP与平面PDE所成角的正弦值为 10 C 解析 对于命题 p 当 x 4 时 y loga 4a 3a 1 故命题 p 为真命题 对于命题 q 如果 y f x 的图像关于点 3 0 对称 则 y f x 3 的图像关于原点对称 故命题 q 为假命题 故选 C 11 B 解析 由抛物线的对称性 不妨设直线 AB 的斜率为正 如图所示 设抛物线的准线为 l 过点 A 作 AD l 交 l 于 D 过点 B 作 BC l 交 l 于
13、C 过点 B 作 BE AD 交 AD 于 E 由已知条件及抛物线的定义 不难求出 AB 2 AE 所以直线 AB 的倾斜角为 60 易知 F 1 0 故直线 AB 的方程为 y x 1 联立直线 AB 的方程与抛物线的方程可求得 A 3 2 B 所以 AB 又原点到直线 AB 的距离 d 所以 S AOB 故选 B 7 12 D 解析 连接 F1Q 设 F1 c 0 F2 c 0 则 PF1 F1F2 2c 由双曲线的定义可得 PF2 PF1 2a 2c 2a 由 3 PF2 2 QF2 可得 QF2 3c 3a 由 双 曲 线 的 定 义 可 得 QF1 QF2 2a 3c a 在 PF1
14、F2和 QF1F2中 cos F1F2P cos F1F2Q 由 F1F2Q F1F2P 可得 cos F1F2Q cos F1F2P 0 即有 0 化简得 5c 7a 所以 e 13 解析 由已知得 1 1 1 2 0 1 x 1 z 由题意得即解得 P 1 0 2 14 解析 不妨设点 B 在第二象限 由题意知 OA 垂直平分线段 BF 设 F c 0 B m n 则 且 得 m n 代入双曲线的方程 可得 1 又 b2 c2 a2 化简并整理 可得 c2 5a2 该双曲线的离心率 e 15 解析 如图 过 D 点作 DE BC 连 AE 则 AE BC 15 10 AE 为点 A 到直线
15、 BC 的距离 在直角三角形 ADE 中 AE 又 BC 面 ADE 且 BC 22 22 3315 244 ADDE 面 ABC 面 ABC 面 ADE AE 为高线 作 DH AE 于 H 则 DH 面 ABC 8 DH 为点 D 到面 ABC 的距离 由 DH AE AD DE 得 DH 33 15 24 1015 4 16 解析 设 A x y 则 B x y 易知 x 0 M N 由题意得 0 即 0 即x2 y2 1 又 1 所以 x2 y2 即 因为直线AB的斜率 k 满足 0 k 所以 0 即 01 所以 10 解得 k 由题意 设直 线 l 的 方 程 为 y 1 k x 2
16、 即 y kx 2k 1 联 立 方 程消 去 x 并 整 理 得 ky2 4y 4 2k 1 0 要 使 直 线 l 与 抛 物 线 y2 4x 有 两 个 不 同 的 公 共 点 则 需 满 足 解得 1 k0 可得 y1 y2 8k y1y2 16 又 x1 y1 x2 y2 x1x2 y1y2 ky1 2 ky2 2 y1y2 k2y1y2 2k y1 y2 4 y1y2 16k2 16k2 4 16 12 9 是一个定值 19 解析 1 证明 设 O 为 BE 的中点 连接 AO CO 易知 AO BE CO BE 设 AC BC 2 则 AO 1 CO 可得 AO2 CO2 AC2 所以 AO CO 又 AO BE O 所以 CO 平面 ABE 又 CO 平面 BCE 故平面 ABE 平面 BCE 2 由 1 可知 AO BE CO 两两垂直 设 OE 1 以 O 为坐标原点 OE OC OA 分别为 x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz 则 A 0 0 1 E 1 0 0 C 0 0 易得 D 1 1 故 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 设 n
