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1、第五章 中心对称图形（二） 知识点归纳以及相关题目总结一、和圆有关的基本概念1.圆：把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转1周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。4.弦：连接圆上任意两点的线段。5.直径：经过圆心的弦。6.弧：圆上任意两点间的部分。 优弧：大于半圆的弧。 劣弧：小于半圆的弧。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都
2、叫做半圆。7.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同）9.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。10.圆心角：顶点在圆心的角。11.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。12.圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。13.正多边形：定义：各边相等、各角也相等的多边形对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。14.圆锥：母线：连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。15.三角形的外接圆：三角形三个顶点
3、确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。16.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。二、和圆有关的重要定理1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。4.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。5.圆是轴对称图形，过圆心的
4、任意一条直线都是它的对称轴。6.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧。推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。7.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。8.直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。9.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。10.确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画
5、一个这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。11.三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点12.圆的切线垂直于经过切点的半径。13.经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。14.从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。三、和圆有关的位置关系1.点和圆：如果O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么点P在圆内点P在圆上点P在圆外dr2.直线和圆：直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。直
6、线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么直线l与O相交直线l与O相切直线l与O相离dr3.圆和圆：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切，这个唯一的公共点叫做切点。两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交。两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切，这个唯一的公共点叫做切点。（两个圆外
7、切和内切统称为两个圆相切。）两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。（两圆同心是两圆内含的一种特例。）如果两圆的半径分别为R、r，圆心距为d，那么两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含dR+rd=R+rR-rdr)0dr)四、和圆有关的计算1. 多边形和圆每个内角的度数：每个外角的度数： （等于中心角）正多边形和圆的关系定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可以采用作辅助圆的办法，解决一些问题。对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。2. 扇形：面积公式： 或3. 弧长：弧长
8、公式：4. 圆锥：（圆锥的侧面展开图，是一个扇形。）圆锥的侧面积=S侧2rara（圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积。）五、和圆有关的作图1.圆心做一个已知圆的圆心在圆上任意画一条线，作垂直与这条线的直径；再画一条弦，继续作垂直于这条弦的直径；两条直径的交点就是圆心。2.三角形的外接圆：已知锐角三角形ABC，用直尺和圆规作ABC的外接圆。 分别作边AB、AC的垂直平分线DE、FG，DE与FC相交于点O 以O为圆心，OA为半径作圆，O就是所求作的圆。3.用直尺和圆规做特殊的正多边形：（1）正四边形在O中作两条互相垂直的直径AC、BD依次连接A、B、C、D各点，四边形ABCD就是所求做的正四
9、边形。（2）正六边形在O中任意做一条直径AD分别以A、D为圆心，O的半径作半径作弧，与O相交于B、F和C、E依次连接A、B、C、D、E、F各点，六边形ABCDEF就是所求作的正六边形。六、和圆有关的常作辅助线1.见弦作弦心距有关弦的问题，常作其弦心距（有时还需作出相应的半径），通过垂径定理来沟通结论与题设间的关系。2.见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径，一般是做直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”这一特征来证明问题。3.见切线作半径命题的条件中含有圆的切线，往往是连接过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题。5.两圆相切作公切线对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆
10、的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。6.两圆相交作公共弦对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可以把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。以下内容和上面微观励志故事给予有个老木匠准备退休，他告诉老板，说要离开建筑行业，回家与妻子儿女享受天伦之乐。老板舍不得他的好工人走，问他是否能帮忙再建一座房子，老木匠说可以。但是大家后来都看得出来，他的心已不在工作上，他用的是软料，出的是粗活。房子建好的时候，老板把大门的钥匙递给他。这是你的房子，他说，我送给你的礼物。他震惊得目瞪口呆，羞愧得无地自容。如果他早知道是在给自己建房子，他怎么会这样呢？现在他得住在一幢粗制滥造的房子里！我们又何尝不是这样。我们漫不经心地建造自己的生活，不是积极行动，而是消极应付，凡事不肯精益求精，在关键时刻不能尽最大努力。等我们惊觉自己的处境，早已深困在自己建造的房子里了。把你当成那个木匠吧，想想你的房子，每天你敲进去一颗钉，加上去一块板，或者竖起一面墙，用你的智慧好好建造吧！你的生活是你一生唯一的创造，不能抹平重建，即使只有一天可活，那一天也要活得优美、高贵，墙上的铭牌上写着：生活是自己创造的。
