《河北省2019届中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第15讲等腰三角形（8年真题训练）练习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省2019届中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第15讲等腰三角形（8年真题训练）练习（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第第 1515 讲讲 等腰三角形等腰三角形 命题点命题点 1 1 等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定 1 1 2018 河北 T8 3 分 已知 如图 点 P 在线段 AB 外 且 PA PB 求证 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 在 证明该结论时 需添加辅助线 则作法不正确的是 B A 作 APB 的平分线 PC 交 AB 于点 C B 过点 P 作 PC AB 于点 C 且 AC BC C 取 AB 中点 C 连接 PC D 过点 P 作 PC AB 垂足为 C 2 2 2017 河北 T10 3 分 如图 码头 A 在码头 B 的正西方向 甲 乙两船分别从 A B 同
2、时出发 并以等速驶向 某海域 甲的航向是北偏东 35 为避免行进中甲 乙相撞 则乙的航向不能是 D A 北偏东 55 B 北偏西 55 C 北偏东 35 D 北偏西 35 3 3 2013 河北 T8 3 分 如图 一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70 方向的 M 处 它以每小时 40 海里的速度向正 北方向航行 2 小时后到达位于灯塔 P 的北偏东 40 的 N 处 则 N 处与灯塔 P 的距离为 D A 40 海里 B 60 海里 C 70 海里 D 80 海里 命题点命题点 2 2 等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定 4 4 2016 河北 T16 2 分 如图 AOB 120
3、 OP 平分 AOB 且 OP 2 若点 M N 分别在 OA OB 上 且 PMN 为等边三角形 则满足上述条件的 PMN 有 D A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 3 个以上 5 5 2011 河北 T17 3 分 如图 1 两个等边 ABD CBD 的边长均为 1 将 ABD 沿 AC 方向向右平移到 A B D 的位置 得到图 2 则阴影部分的周长为 2 图 1 图 2 2 重难点重难点 1 1 等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定 在 ABC 中 AC BC ACB 120 点 D 是线段 AB 上一动点 D 不与 A B 重合 1 如图 1 当点 D 为 AB 的中点
4、 过点 B 作 BF AC 交 CD 的延长线于点 F 求证 AC BF 2 连接 CD 作 CDE 30 DE 交 AC 于点 E 若 DE BC 时 如图 2 CDB 120 求证 ADE 为等腰三角形 在点 D 的运动过程中 ECD 的形状可以是等腰三角形吗 若可以 请求出 AED 的度数 若不可以 请说 明理由 自主解答 解 1 证明 CA CB CD 是 ABC 的中线 AD BD BF AC A FBD ADC BDF ACD BFD AC BF 2 证明 AC BC A B DE BC EDA B A EDA ADE 为等腰三角形 ECD 可以是等腰三角形 理由如下 当 CDE
5、ECD 时 EC DE ECD CDE 30 AED ECD CDE AED 60 当 ECD CED 时 CD DE ECD CED CDE 180 CED 75 AED 180 CED 105 180 CDE 2 当 CED CDE 时 EC CD ACD 180 CED CDE 180 30 30 120 ACB 120 此时 点 D 与点 B 重合 不合题意 综上 ECD 可以是等腰三角形 此时 AED 的度数为 60 或 105 变式训练变式训练 1 1 2018 湖州 如图 AD CE 分别是 ABC 的中线和角平分线 若 AB AC CAD 20 则 ACE 的 度数是 B A
6、20 B 35 C 40 D 70 变式训练变式训练 2 2 2018 河北大联考 如图 在 ABC 中 AB AC D 为 BC 边上的一点 且 BA BD DA DC 则 C 的度数为 B A 30 B 36 C 40 D 45 方法指导 3 1 1 在同一个三角形中证明边相等或角相等的方法主要是等边对等角或等角对等边 在两个不同三角形中 证明两 条边相等或角相等的方法是利用全等三角形 2 2 几何常见图形 8 字图 其基本构成过程是 1 把三角形的中线加倍 即 CD 是 ABC 的中线 延长 CD 至 F 使 DF CD 2 D 是 AB 的中点 BF AC 3 没有明确腰或底边的等腰三
7、角形或没有明确顶角或底角的等腰三角形问题 解决时常常需要分类讨论 在 ABC 中 AB 6 AC 4 BC 8 BP 平分 ABC CP 平分 ACB 1 如图 1 过点 P 作 BC 的平行线交 AB 于点 E 交 AC 于点 F 则 AEF 的周长为 10 2 如图 2 过点 P 作 PM AB 交 BC 于点 M PN AC 交 BC 于点 N 则 PMN 的周长为 8 变式变式 1 1 如图 3 若点 P 为 ABC 的内心 将 BAC 平移使其顶点与 P 重合 则图中阴影部分的周长为 8 变式变式 2 2 如图 4 若 ABC 的内角平分线 BQ 与外角平分线 CQ 相交于点 Q 过
8、点 Q 作 QH BC 交 AB 于点 H 交 AC 于 点 R 若 BH 5 HR 2 求 CR 的长 思路点拨 思路点拨 1 由角平分线及两直线平行 内错角相等 可得到 BEP CFP 均是等腰三角形 从而有 EF EB FC 所以 AEF 的周长为 AB AC 对于 2 同理可得 PM BM PN CN 所以 PMN 的周长 BM MN CN BC 8 对于变式 2 连接 PB PC 根据 2 中结论可得阴影部分的周长 对于变式 2 可证得 BHQ CRQ 是等腰三角形 自主解答 自主解答 解 HQ BC HQB QBC 又 BQ 平分 ABC HBQ CBQ HQB HBQ HB HQ
9、 同理可得 CR RQ CR RQ HQ HR BH HR 5 2 3 变式训练变式训练 3 3 已知 如图 点 D 在 ABC 外 BD CD 分别平分 ABC 的外角 GBC 和 HCB 过点 D 作 DE BC 分别交 BG CH 于 E F 两点 则 EF 与 BE CF 之间存在怎样的关系 写出你的结论 并加以证明 解 结论 BE CF EF 证明 BD 平分 EBC CD 平分 FCB EBD CBD FCD BCD EF BC EDB CBD FDC BCD EBD EDB FDC FCD BE DE CF DF BE CF DE DF EF BE CF EF 方法指导 1 1
10、角平分线 平行线可以得出等腰三角形 模型如下 如图 OA BC OC 平分 AOB 则 BOC 为等腰三角形 2 2 利用等腰三角形的腰相等 可以实现化曲为直 实现线段求解或周长求解 变式点 1 1 内心可以看作三角形三条角平分线的交点 2 2 平移可以看作平行线 4 3 3 等腰三角形可以作一条线段绕其中一个端点旋转一个角度 交于另一个端点连接得到的图形 4 4 外心可以看作三角形三边垂直平分线的交点 重难点重难点 2 2 等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定 2018 廊坊安次区模拟 如图 ABC 是等边三角形 点 P 是三角形内的任意一点 PD AB PE BC PF AC 若
11、ABC 的周长为 12 则 PD PE PF C A 12 B 8 C 4 D 3 思路点拨 思路点拨 延长 DP 交 AC 于点 M 由等边三角形的性质及两直线平行 同位角相等 易得 MDC C 60 从 而 MDC 是等边三角形 MPE 也是等边三角形 有 MD CM MP PD PE PD 又可得四边形 AMPF 是平行四边形 所以 PF AM 所以 AC PD PE PF 4 变式训练变式训练 4 4 2017 河池 已知等边 ABC 的边长为 12 点 D 是 AB 上的动点 过点 D 作 DE AC 于点 E 过点 E 作 EF BC 于点 F 过点 F 作 FG AB 于点 G
12、当点 G 与点 D 重合时 AD 的长是 C A 3 B 4 C 8 D 9 变式训练变式训练 5 5 如图 六边形 ABCDEF 中 每一个内角都是 120 AB 12 BC 30 CD 8 DE 28 则这个六边形 的周长为 C A 125 B 126 C 116 D 108 这里依据两个角为 60 的三角形是等边三角形 利用等边三角形的性质以及平行四边形的性质 化曲为直 方法指导 平移线段 将三条线段的和转化成一条线段 体现了整体求值的数学思想 注 本题的结论与 过等边三角形内一点向三边作垂线段 三条垂线段 之和等于等边三角形的高类似 1 1 2018 宿迁 若实数 m n 满足等式 m
13、 2 0 且 m n 恰好是等腰 ABC 的两条边的边长 则 ABCn 4 的周长是 B A 12 B 10 C 8 D 6 2 2 2018 德州改编 如图 OC 为 AOB 的平分线 CM OB OC 5 OM 4 则点 C 到射线 OA 的距离为 A A 3 B 4 C 5 D 6 3 3 2018 黄冈 如图 在 ABC 中 DE 是 AC 的垂直平分线 且分别交 BC AC 于点 D 和 E B 60 C 25 则 BAD 为 B 5 A 50 B 70 C 75 D 80 4 4 2018 福建 如图 等边 ABC 中 AD BC 垂足为 D 点 E 在线段 AD 上 EBC 45
14、 则 ACE 等于 A A 15 B 30 C 45 D 60 5 5 2018 昆明 在 AOC 中 OB 交 AC 于点 D 量角器的摆放如图所示 则 CDO 的度数为 B A 90 B 95 C 100 D 120 6 6 如图是四张形状不同的纸片 用剪刀沿一条直线将它们分别剪开 只允许剪一次 不能得到两个等腰三角形纸 片的是 B A B C D 7 7 2017 枣庄 如图 在 Rt ABC 中 C 90 以顶点 A 为圆心 适当长为半径画弧 分别交 AC AB 于点 M N 再分别以点 M N 为圆心 大于 MN 的长为半径画弧 两弧交于点 P 作射线 AP 交边 BC 于点 D 若
15、 CD 4 AB 1 2 15 则 ABD 的面积是 B A 15 B 30 C 45 D 60 8 8 2018 玉林 如图 AOB 60 OA OB 动点 C 从点 O 出发 沿射线 OB 方向移动 以 AC 为边在右侧作等边 ACD 连接 BD 则 BD 所在直线与 OA 所在直线的位置关系是 A A 平行 B 相交 C 垂直 D 平行 相交或垂直 6 9 9 2018 南充 如图 在 ABC 中 AF 平分 BAC AC 的垂直平分线交 BC 于点 E B 70 FAE 19 则 C 24 1010 2018 吉林 我们规定 等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的 特征值
16、 记作 k 若 k 则该等腰三角形的顶角为 36 度 1 2 1111 2018 嘉兴 如图 在 ABC 中 AB AC D 为 AC 的中点 DE AB DF BC 垂足分别为 E F 且 DE DF 求 证 ABC 是等边三角形 证明 DE AB DF BC AED CFD 90 D 为 AC 的中点 AD DC 在 Rt ADE 和 Rt CDF 中 AD DC DE DF Rt ADE Rt CDF HL A C BA BC AB AC AB BC AC ABC 是等边三角形 1212 2018 绍兴 数学课上 张老师举了下面的例题 例 1 1 等腰三角形 ABC 中 A 110 求 B 的度数 答案 35 例 2 2 等腰三角形 ABC 中 A 40 求 B 的度数 答案 40 或 70 或 100 张老师启发同学们进行变式 小敏编了如下一题 变式 等腰三角形 ABC 中 A 80 求 B 的度数 1 请你解答以上的变式题 2 解 1 后 小敏发现 A 的度数不同 得到 B 的度数的个数也可能不同 如果在等腰三角形 ABC 中 设 A x 当 B 有三个不同的度数时 请你探索
