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1、微专题87 离散型随机变量分布列与数字特征一、基础知识：（一）离散型随机变量分布列：1、随机变量：对于一项随机试验，会有多个可能产生的试验结果，则通过确定一个对应关系，使得每一个试验结果与一个确定的数相对应，在这种对应关系下，数字随着每次试验结果的变化而变化，将这种变化用一个变量进行表示，称这个变量为随机变量（1）事件的量化：将试验中的每个事件用一个数来进行表示，从而用“数”即可表示事件。例如：在扔硬币的试验中，用1表示正面朝上，用0表示反面朝上，则提到1，即代表正面向上的事件。将事件量化后，便可进行该试验的数字分析（计算期望与方差），同时也可以简洁的表示事件（2）量化的事件之间通常互为互斥事
2、件（3）随机变量：如果将事件量化后的数构成一个数集，则可将随机变量理解为这个集合的代表元素。它可以取到数集中每一个数，且每取到一个数时，就代表试验的一个结果。例如：在上面扔硬币的试验中，设向上的结果为，则“”代表“正面向上”，”代表“反面向上”，（4）随机变量的记法：随机变量通常用等表示（5）随机变量的概率：记为取所代表事件发生的概率2、离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量，离散型随机变量的取值集合可以是有限集，也可以是无限集3、分布列：一般地，若离散型随机变量可能取得不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：称该表格为离散型随机变量的分布列，分布列概率具
3、有的性质为：（1）（2），此性质的作用如下： 对于随机变量分布列，概率和为1，有助于检查所求概率是否正确 若在随机变量取值中有一个复杂情况，可以考虑利用概率和为1的特征，求出其他较为简单情况的概率，利用间接法求出该复杂情况的概率（二）常见的分布：1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布：（1）随机变量的取值：随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致.（2）每个特殊的分布都有一个试验背景，在满足（1）的前提下可通过该试验的特征判断是否符合某分布2、常见的分布（1）两点分布：一项试验有两个结果，其中事件发生的概率为，令，则的分布列为：则称符合两点分布（也称伯努利分布），其中称为成功概率（2）超
4、几何分布：在含有个特殊元素的个元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的个数记为，则有，其中即：则称随机变量服从超几何分布，记为（3）二项分布：在次独立重复试验中，事件发生的概率为，设在次试验中事件发生的次数为随机变量，则有 ，即： 则称随机变量符合二项分布，记为 （三）数字特征期望与方差1、期望：已知离散性随机变量的分布列为：则称的值为的期望，记为 （1）期望反映了随机变量取值的平均水平，换句话说，是做了次这样的试验，每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计，并计算平均数，当足够大时，平均数无限接近一个确定的数，这个数即为该随机变量的期望。例如：连续投篮三次，设投进篮
5、的次数为随机变量，那么将这种连续三次投篮的试验重复做很多次（比如次），统计每次试验中的取值，则这个值的代数平均数将很接近期望 （2）期望的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有 是指随机变量取值存在对应关系，且具备对应关系的一组代表事件的概率相同：若的分布列为：则的分布列为： 这个公式体现出通过随机变量的线性关系，可得期望之间的联系。在某些直接求期望的题目中，若所求期望的随机变量不符合特殊分布，但与一个特殊分布的随机变量间存在这样的关系，那么在计算期望时，便可借助这个特殊分布的随机变量计算出期望2、方差：已知离散性随机变量的分布列为：且记随机变量的期望为，用表示的方差，则有：（1）方
6、差体现了随机变量取值的分散程度，与期望的理解类似，是指做了次这样的试验，每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计。方差大说明这些数分布的比较分散，方差小说明这些数分布的较为集中（集中在期望值周围）（2）在计算方差时，除了可以用定义式之外，还可以用以下等式进行计算：设随机变量为 ，则 （3）方差的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有：3、常见分布的期望与方差：（1）两点分布：则 （2）二项分布：若，则 （3）超几何分布：若，则注：通常随机变量的期望和方差是通过分布列计算得出，如果题目中跳过求分布列直接问期望（或方差），则可先观察该随机变量是否符合特殊的分布，或
7、是与符合特殊分布的另一随机变量存在线性对应关系。从而跳过分布列中概率的计算，直接利用公式得到期望（或方差）二、典型例题：例1：为加强大学生实践，创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲，乙等五支队伍参加决赛（1）求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率（2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为，求的分布列和数学期望（1）思路：本题可用古典概型进行解决，设为“五支队伍的比赛顺序”，则，事件为“甲乙排在前两位”，则，从而可计算出解：设事件为“甲乙排在前两位”（2）
8、思路：一共五支队伍，所以甲乙之间间隔的队伍数能取得值为，同样适用于古典概型。可先将甲，乙占上位置，然后再解决“甲乙”的顺序与其他三支队伍间的顺序问题。解：可取得值为 的分布列为：例2：为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动。这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人求：（1）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；（2）选出的3人中，语文教师人数的分布列和数学期望（1）思路：本题可用古典概型来解，事件为“10名教师中抽取3人”，则，事件为“语文教师人数多于数学教师人数”，则分为“1语0数”，“2语1数”，“2语0数”，“3
9、语”四种情况，分别求出对应的情况的种数，加在一起即为，则即可求出。为了更好的用数学符号表示事件，可使用“字母+数字角标”的形式分别设出“3人中有名语文教师”和“3人中有名数学教师”。 设事件为“3人中有名语文教师”，为“3人中有名数学教师”，事件为“语文教师人数多于数学教师人数” （2）思路：本题可将语文老师视为特殊元素，则问题转化为“10个元素中不放回的抽取3个元素，特殊元素个数的分布列”，即符合超几何分布。随机变量的取值为，按超几何分布的概率计算公式即可求出分布列及期望 语文教师人数可取的值为，依题意可得： 的分布列为例3：某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲，乙两个田径队的所有跳高运动
10、员进行了测试，用茎叶图表示出甲，乙两队运动员本次测试的成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图，跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队（1）求甲，乙两队运动员的总人数及乙队中成绩在 （单位：cm）内的运动员人数 （2）在甲，乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率（3）在甲，乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，
11、求所选取运动员中来自甲队的人数的分布列及期望（1）思路：本小问抓好入手点的关键是明确两个统计图的作用，茎叶图所给的数据为甲，乙两队的成绩，但乙队有残缺，所以很难从茎叶图上得到全体运动员的人数。在频率分布直方图中，所呈现的是所有运动员成绩的分布（但不区分甲，乙队），由此可明确要确定全体运动员的人数，需要通过直方图，要确定各队的情况，则需要茎叶图。要补齐乙队的数据，则两个图要结合着看。在第（1）问中，可以以190cm以上的人数为突破口，通过频率直方图可知190cm以上所占的频率为，而190cm以上只有2人，从而得到全体人数，然后再根据频率直方图得到的人数，减去甲队的人数即为 解：由频率直方图可知：
12、成绩在以190cm以上的运动员的频率为所以全体运动馆总人数（人） 成绩位于中运动员的频率为，人数为 由茎叶图可知：甲队成绩在的运动员有3名（人）（2）思路：通过频率直方图可知180cm以上运动员总数为：（人），结合茎叶图可知乙在180cm以上不缺数据。题目所求的是条件概率，所以可想到公式，分别求出“至少有1人成绩为优秀”和“两人成绩均优秀”的概率，然后再代入计算即可解：由频率直方图可得：180cm以上运动员总数为：由茎叶图可得，甲乙队180cm以上人数恰好10人，且优秀的人数为6人 乙在这部分数据不缺失设事件为“至少有1人成绩优秀”，事件为“两人成绩均优秀” （3）思路：由（2）及茎叶图可得：
13、在优秀的6名运动员中，甲占了4名，乙占了2名，依题意可知的取值为，且符合超几何分布，进而可按公式进行概率的计算解：由（2）可得：甲有4名优秀队员，乙有2名优秀队员可取的值为 的分布列为： 例4：现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望
14、.（1）思路：按题意要求可知去参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为，4个人扔骰子相互独立，所以属于独立重复试验模型，利用该模型求出概率即可。解：依题意可得：参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为设事件为“有个人参加甲游戏” （2）思路：若甲游戏人数大于乙游戏人数，即为事件，又因为互斥，所以根据加法公式可得：，进而可计算出概率解：设事件为“甲游戏人数大于乙游戏人数” （3）思路：表示两个游戏人数的差，所以可取的值为。时对应的情况为，时对应的情况为，时对应的情况为，从而可计算出对应的概率，得到分布列解：可取的值为例5：某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是分钟（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望，方差解：（1）思路：条件中说明各路口遇到红灯的情况相互独立，。在第三个路口首次遇到红灯，即前两次没有遇到，第三次遇到红灯。使用概率乘法即可计算解：设事件为“在第个路口遇到红灯”，则， 设事件为“第三
