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1、第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 总决赛总决赛试题解答试题解答 少年一组一试少年一组一试 一 填空题 一 填空题 1 化简 1 1 1 1 1 caabcbab b c ba 答案答案 1 解答解答 原式 caabcbab b bc c a 1 1 1 1 111 caabcbb ab caabc bc 11 2 caabcb abbccab 1 2 小兔和小龟同时从 A 地出发到森林游乐园 小兔 1 分钟向前跳 36 米 每 跳 3 分钟就原地玩耍 第 1 次玩耍 0 5 分钟 第 2 次玩耍 1 分钟 第 3 次玩耍 1 5 分钟 第 k 次玩耍k5
2、 0分钟 小龟途中从不休息和玩耍 已知小龟比小兔早 到森林游乐园 3 分 20 秒 A 地到森林游乐园有 2640 米 则小龟 1 分钟爬行 米 答案 答案 12 米 解答解答 小兔到达森林游乐园需要跳动 3 1 73362640 分钟 既然 3 4 243 3 1 73 小兔在到达森林游乐园签在途中就要共玩耍 15025125 0125 115 0 分钟 设小龟 1 分钟爬行 m 米 则可以列出方程 3 1 3 2640 150 3 1 73 m 解此方程 m 12 米 3 A B C D用10 20 30 40四个数的一个排列代入 使得式 D C B A 1 1 1 1 的值最大 则DCB
3、A432 的值为 答案答案 290 解答解答 解答解答 1 由于 10 20 30 40 四个数都是大于 1 的数 故有下面的关系式 C D CC 1 11 1 1 1 1 B D C BB A D C B AA 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 A D C B A A 比较 40 1 140 1 30 1 130 1 20 1 120 1 10 1 110 1 得到 要使得算式的值最大 10 A 同样 要使得算式的值最大 D C B 1 1 1 应该尽量大 由 1 1 1 1 B D C BB 比较 40 1 140 1 30 1 130 1 20 1 120 1 得20 B 同样要
4、使算式尽量大 D C 1 1 要尽量小 1 1 1 11 C D C C 比较 140 1 40 1 130 1 30 1 故30 40 DC 所以DCBA432 的值为 290 解答解答 2 令 D C B A q 1 1 1 1 则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 CD AD CD ABCD A CD AD AB A ADADABABCD CD A CDADABABCD CDCDADABABCD A CDADABABCD DBBCD DBBCD CD A CD D B A q 图 A 45 当A变小 q值变大 所以10 A 乘积C
5、D变大 q值变大 所以4030 CD DAD10 D取 30 q最大 因此30 40 DC 注意 239001 24020 40 1 30 1 20 1 10 1 238901 24010 30 1 40 1 20 1 10 1 所以 290432 DCBA 二 解答题二 解答题 4 长方形BAOO 21 的宽1 1 AO厘米 分别以 1 O与 2 O为 圆心 1 厘米为半径画圆 1 O和圆 2 O 交线段 1 O 2 O于点 C 和 D 如图 A 45 所示 则四边形 ABCD 的面积等于多少平方厘 米 答案答案 1 平方厘米 解答解答 四边形 ABCD 是个梯形 AB O1O2是大底 CD
6、 是小底 1212 1 12 ABCDOOCDOCO DCDCDCDCD 所以 1 2 12 2 1 AOCDAB SABCD 平方厘米 5 对于十进制自然数 n nS表示 n 的数码和 三位数中满足 2 aSaS 的数 a 有多少个 答案答案 80 解答解答 以下用 a 表示满足题设条件的三位数 9 mod 2 2 0aSaaSaSaS 所以a是 9 的倍数 是 9 的倍数的三位数有9111913912 共计 100 个 1 数 码05 zyx 且 其 和 为9的 数 组 3 3 3 2 3 4 1 4 4 zyx 数组 1 4 4 可以组成 3 个三位数 数组 2 3 4 可以组成 6 个
7、三位数 数组 3 3 3 可以组成 1 个三位数 这 10 个数不满 足条件 2 设zyxa 10100 zyx 为数码 则zyxa221021002 若 zyx 中有一个不小于 5 时 例如5 y 则my 102 80 m zmxa210 12 1002 9 29 22 102 12212 2 aSzyxzyxzmxaS 完 全 一 样 可 以 证 明 当zyx 中 有k 30 k个 数 码 大 于5时 kaSaS9 2 因此数码05 zyx 且其和为 9 的数组 x y z 所组成的 三位数是满足条件的数 数码和为 9 的三位数不可能有 2 个大于 4 的数码 3 三个数码和为 18 的三
8、位数 至少有 2 个数码大于 4 由上面的说明 三 个数码和为 18 的三位数 恰有 2 个数码大于 4 时 这样的三位数满足条件 三个 数码和为 18 恰有 3 个数码大于 4 的数组 zyx zyx zyx 5 5 8 5 6 7 6 6 6 用数码 5 5 8 可组成 3 个三位数 用数码 5 6 7 可组成 6 个三位数 用数码 6 6 6 可组成一个三位数 共计 10 这 10 个三位数不满足条件 4 三个数码和为 27 的三位数只有 999 满足条件 综上所述 100个9的倍数的三位数中 有20个数不满足条件 所以 满足条 件的三位数由 80 个 6 n 张纸片 每张都写有不大于
9、n 的 3 个不同正整数 任意 2 张纸片恰有一 个数是相同的 求纸片上所有写的数的和 答案答案 84 解答解答 设a 是出现最多的数字 一共有k 张 则这k 张纸片一共写有 2k 1 个不同的数字 因为每个数都不大于 n 所以nk 12 因此 nk 所以 至 少还有一张纸片没写上 a 这张没写 a 的纸片与前面 k 张纸片中任一张纸片都恰 有一个数相同 这些数字彼此不同 而且这个数不是 a 但是这张纸片上只有三 个不同的数字 所以 k 3 因此 712 kn 另外 n 张纸片写有 3n 个数 同 一个数最多写 3 次 所以 n 2 1 每个数都写了 3 次 如果7 n 三张写有 1 的纸片上有 7 个不同的数 由于7 n 所以 还有一 个数不出现在这三张纸片上 记为b 写有b的纸片上有 3 个数 这张纸片与写 有a的三张纸片的每一张恰有一个相同的数字 这个数字不是1 也不是b 但是 写有b的纸片上 除了 b 外 还只有 2 个数字 不可能与写有 1 的三张纸片每张都 有一个相同的数字 所以 n 7 每 个 数 恰 在 三 张 纸 片 上 出 现 所 有 写 的 数 的 和 为 84283 721 3 下面是一个实例 1 2 3 1 4 5 1 6 7 2 4 6 2 5 7 3 4 7 3 5 6
