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1、1 负数小史负数小史 中国是最早采用正 负数表示相反意义的量 并进行负数运算的国家 有关正 负数的概 念和运算法则的系统论述 记载于我国古代数学名著 九章算术 一书中 书中明确提出 正 负术 这是世界上至今发现的最早最详细的记载 公元 3 世纪 我国数学家刘徽在 正负术 的注文中指出 两算得失相反 要令正 负以名之 正算 筹 赤 负算 筹 黑 否则以邪正为 异 就是说 对两个得失相反的量 要以正 负加以区别 用红筹表示正 黑筹表示负 也可将 算筹正放 斜放来区别 1 我国古代首次阐述了负数及其加减运算法则的数学著作是 A 海岛算经 B 几何原本 C 九章算术 D 周髀算经 2 中国人最先使用负
2、数 魏晋时期的数学家刘徽在 正负术 的注文中指出 可将算筹 小棍 形状的记数工具 正放表示正数 斜放表示负数 根据刘徽的这种表示法 观察图 1 可推算 图 2 中所得的数值为 图 1 图 2 无理数漫谈 公元前 5 世纪 毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个既不能用整数 也不能用分数来 表示的新数 无理数 他的发现 在当时的数学届掀起了一场巨大风暴 导致西方数学2 史上的 第一次数学危机 这一发现第一次向人们揭示了有理数的缺陷 证实有理数并没有布满数轴上的点 在数 轴上存在着不能用有理数表示的 空隙 而这种 空隙 经后人证明简直多得 不可胜 数 这次数学危机 对以后两千多年数学的发展产生了深远的
3、影响 促使人们从依靠直觉 经验转向依靠证明 推动了公理几何学与逻辑学的发展 并且孕育了微积分的思想萌芽 1 在实数 0 中 无理数有 个 1 3 59 2 与相乘并且结果为有理数的无理数是 写出一个即可 7 3 比较 2 填 或 3 8 1 杨辉三角 我们已经知道 a b 2展开后等于 a2 2ab b2 你能利用多项式乘法法则展开 a b 3 并且 进一步展开 a b 4 a b 5吗 解决上述问题需要大量的计算 是否有简单的方法呢 我们不妨 找找规律 如果将 a b n n 为非负整数 的每一项按字母 a 的次数由大到小排列 就可以得到下面 的等式 a b 0 1 它只有一项 系数为 1
4、a b 1 a b 它有两项 系数分别是 1 1 a b 2 a2 2ab b2 它有三项 系数分别是 1 2 1 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 它有四项 系数分别是 1 3 3 1 2 我们发现展开后系数的规律是 每一行的首末都是1 其余的数都等于它肩上的两数字之 和 并且与首尾两端 等距离 的两个数相等 具有对称美 每一行的第二个数比行数小 1 按 照这个规律系数表为 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表可用来解释二项和的乘方规律 此表在我国南宋数学家杨辉 1261 年的著作 详解九 章
5、算法 中提到过 并说明此表引自北宋数学家贾宪在其所著的 释锁算术 因而人们把这 个表叫做杨辉三角或贾宪三角 在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形 帕斯卡是 1654 年发现这一 规律的 比杨辉要迟 393 年 比贾宪迟 600 年 1 如图 1 是杨辉三角 图 2 是对应的等式 1 1 1 a b 1 a b 1 2 1 a b 2 a2 2ab b2 1 3 3 1 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 1 4 6 4 1 a b 4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 图 1 图 2 根据前面各式的规律 则 a b 6 如果将 a b 8的每一项按字母 a 的次数由 大到小排列 第六
6、项是 2 我国古代数学家杨辉发现了如图所示的数字三角形 我们称之为 杨辉三角 从图中取一 列数 1 3 6 10 记 a1 1 a2 3 a3 6 a4 10 那么 a4 a11 2a10 10 的值是 斐波那契数列 斐波那契数 是由意大利数学家列昂纳多 斐波那契发现 亦称为斐波那契数列 其排列 是 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 依次类推下去 你会发现 后一个数等于前面两个 数的和 斐波那契数列与黄金分割具有统一美 有趣的是 当数列中的数趋向于无穷大时 前一项 与后一项的比值越来越逼近黄金分割比 0 618 或者说后一项与前一项的比值的小数部分越 来越逼近黄金分
7、割比 0 618 斐波那契数列与杨辉三角关系密切 如图所示 将杨辉三角左对齐 成如图所示排列 将 同一斜行的数加起来 即得一数列 1 1 2 3 5 8 3 1 数列 1 1 2 3 5 8 13 21 被称为斐波那契数列 在平面直角坐标系中 点 P 位于原点 依 次以斐波那契数列的每一项为平移距离 将点 P 先向上平移 1 个单位长度 得到点 P1 再向左 平移 1 个单位长度 得到点 P2 接着向下平移 2 个单位长度 得到点 P3 然后向右平移 3 个单 位长度 得到点 P4 如此平移下去 则点 P9的坐标为 2 阅读与计算 请阅读以下材料 并完成相应的任务 斐波那契数列中的第n个数可以
8、用 n n 表示 其中n 1 这是用无理 1 5 1 5 2 1 5 2 数表示有理数的一个范例 任务 请根据以上材料 通过计算求出斐波那契数列中的第 1 个数和第 2 个数 海伦 秦九韶公式 假设在一个平面内 有一个三角形 边长分别为 a b c 半周长 p 此三角形的面 a b c 2 积 S 可由以下公式求得 S 古希腊的几何学家海伦 Heron 约公 p p a p b p c 元 50 年 在数学史上以解决几何测量问题而闻名 在他的著作 度量 一书中 给出了公式 和它的证明 这一公式称为海伦公式 我国南宋时期数学家秦九韶 曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 S 1 4 a 2b
9、2 a2 b2 c2 2 2 下面我们对公式 进行变形 1 4 a 2b2 a 2 b2 c2 2 2 1 2ab 2 a2 b2 c2 4 2 1 2ab a2 b2 c2 4 1 2ab a2 b2 c2 4 2ab a2 b2 c2 4 2ab a2 b2 c2 4 a b 2 c2 4 c2 a b 2 4 a b c 2 a b c 2 c a b 2 b c a 2 p p a p b p c 这充分说明海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式 所以我们也称公式 为海伦 秦九韶公式 1 在 ABC 中 AB 4 AC 5 BC 6 请你利用海伦 秦九韶公式求出 ABC 的面积 4 2
10、 如图 在 ABC 中 AB 13 BC 12 AC 7 O 内切于 ABC 切点分别是 D E F 1 请你利用海伦 秦九韶公式求出 ABC 的面积 2 求 O 的半径 参考答案 负数小史 1 C 2 3 由题意知题图 2 表示 2 与 5 相加 根据有理数加法法则 可知结果为 3 无理数漫谈 1 2 3 为有理数 0 均为有理数 均为无理数 9 1 3 5 2 答案不唯一 7 3 3 8 1 2 3 8 8 1 8 2 3 8 1 3 8 1 杨辉三角 1 a6 6a5b 15a4b2 20a3b3 15a2b4 6ab5 b6 56a3b5 2 24 由题可知 an 1 2 3 n a1
11、0 55 a11 66 则 1 2 10 11 2 11 12 2 a4 a11 2a10 10 10 66 2 55 10 24 斐波那契数列 1 15 25 易知点 P1的坐标为 0 1 点 P2的坐标为 1 1 点 P3的坐标为 1 1 2 即 1 1 点 P4的坐标为 1 3 1 即 2 1 点 P5的坐标为 2 1 5 即 2 4 点 P6的坐标 为 2 8 4 即 6 4 点 P7的坐标为 6 4 13 即 6 9 点 P8的坐标为 6 21 9 即 15 9 点 P9的坐标为 15 9 34 即 15 25 2 第 1 个数为 1 1 5 1 5 2 1 5 2 1 5 5 第 2 个数为 2 2 1 1 1 5 1 5 2 1 5 2 1 5 1 5 2 1 5 2 1 5 2 1 5 2 1 5 5 海伦 秦九韶公式 1 p 4 5 6 2 15 2 S ABC 15 2 15 2 4 15 2 5 15 2 6 157 4 2 1 AB 13 BC 12 AC 7 S 16 3 4 9 24 3 2 记 ABC 的周长为 l O 的半径为 r 则 l AB BC AC 32 S lr 24 1 2 3 r 483 32 33 2
