北京市东城区2019届高三数学4月综合练习（一模）试题理

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1、 1 北京市东城区北京市东城区 2018 20192018 2019 学年度第学年度第 学期高三综合练习 一 学期高三综合练习 一 数学数学 理科 理科 本试卷共 5 页 共 150 分 考试时长 120 分钟 考 生务必将答案答在答题卡上 在试卷上 作答 无效 考试结束后 将答题卡交回 第一部分 选择题 共 40 分 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列 出的四个选项中 选出符合题 目要求的 一项 1 已知集合 则 2 20Axxx 210Bxx AB I A B 1 2 x x 1 2 x x C D R 0 x x 2 在复平 面内 若复数 对应的点在第 二象

2、限 则 可以为 2 i z z A B 21 C D i2 i 3 在平面直角坐标系 XOY 中 角 以 OX 为始边 终边经过点 则下列 1 0 Pm m 各式的值一定为负的是 A B sincos sincos C D sincos sin tan 4 正方体被一个平面截去 一部分后 所得几何体的三视图如图所示 则该截面图形的形 状为 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 平行四边形 D 梯形 5 若满足 则的最大值为 x y 0 10 26 xy y yx xy A 0 B 1 C 2 D 4 6 已知直线 过抛物线的焦点 F 与抛物线交于 A B 两点 与其准线交于点 C 若l 2 8y

3、x 2 点 F 是 的 AC 中点 则线段 BC 的长为 A B 3 C D 6 8 3 16 3 7 南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献 他在实践的基础提出祖暅原理 幂 势既同 则 积不容异 其含义是 夹在两个平行平面之间的两个几何体 被平行于这两个平 行平面的任意平面所 截 如果截得的两个截面的面积总相等 那么这两个几何体的体积相等 如图 夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为 被平行于这两个平 面的任 12 V V 意平面截得的两个截面的面积分别为 则 相等 是 总相等 的 12 S S 12 V V 12 S S A 充分 而不 必要条件 B 必要 而不 充分条件 C

4、充分必要条件 D 既不 充分也不 必要条件 8 已知数列满足 则下列关于的判 断正确的 n a 1 aa 1 1 2 n n n a anN a n a 是 A 使得 0 2 an 2 n a B 使得 0 2 an 1nn aa C 总有 0 amN mn aa D 总有 0 amN m nn aa 第二部分 非选择题第二部分 非选择题 共共 110110 分 分 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 在 的展开式中 的系数是 用数字作答 6 2 x 2 x 10 在中 若 则 ABC cossin0bCcB C 11 若曲线 为参数 关于直线 为参数 对称 则 cos

5、2sin xa C y 1 22 xt l yt t 此时原点 O 到曲线 C 上点的距离的最大值为 a 12 已知向量a a 向量b b为单位向量 且a a b b 1 则 2 b b a a与 2 b b夹角为 1 3 13 已知函数 若 都有 3 4f xxx 1212 x xa b xx 成立 则 满足条件的一个区间是 1212 2 2 2 f xxfxfx 3 14 设 A B 是 R 中两个子集 对于 定义 xR 0 1 xA m xA 0 1 xB n xB 若 则对任意 AB xR 1 mn 若对任意 则 A B 的关系为 xR 1mn 三 解三 解 答题共答题共 6 6 小题

6、 共小题 共 8080 分 解答应分 解答应 写出写出 文字说明 演算步骤或证明过程 文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题 13 分 已知函数 且 4 cos sin 6 f xaxx 1 3 f 求的值及的最小正周期 a f x 若在区间上单调递增 求的最大值 f x 0 m f x 16 本小题 13 分 改革开放 40 年 来 体育产业蓬勃发展反映了 健康中国 理念的普及 下图是我国 2006 年至 2016 年体 育产业年增加值及年增速图 其中条形图为体育产业年增加值 单位 亿元 折线图为体育产业年增长率 从 2007 年至 2016 年随机选择 1 年 求该年体育产业年增加值比

7、前一年的体育产 业年增加值多 亿 元以上的概率 从 2007 年至 2016 年随机选择 3 年 设 X 是选出的三年中体育产业年增长率超过 20 的年数 求 X 的分布列 与数学期望 由图判断 从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大 从哪年开始连续三年 的体育产业年 增加值方差最大 结论不 要求证明 17 本小题 14 分 4 如图 在棱长均为 2 的三棱柱 中 点 C 在平面内的射影 O 为与 111 ABCABC 11 A ABB 1 AB 1 AB 的 交点 E F 分别为的中点 11 BC AC 求证 四边形为正方形 11 A ABB 求直线 EF 与平面 所成角的正弦值 11

8、 A ACC 在线段上存在一点 D 使得直线 EF 与平面没有 公共点 求的值 1 AB 1 ACD 1 AD DB 18 本小题 13 分 设函数的极小值点为 2 2 lnf xaxaxx 0 x I 若 求 的值的单调区间 0 1x a f x II 若 在曲线上是否存在点 P 使得点 P 位于 X 轴的下方 若存在 0 01x yf x 求出一个 点 P 坐标 若不存在 说明理由 19 本小题 13 分 已知椭圆 与 x 轴交于两点 与 y 轴的一个交点为 B 22 1 0 4 xy Cm mm 12 A A 12 BA A 的面积 为 2 求椭圆的方程及离心率 C 在 y 轴右侧且平行

9、于 y 轴的直线 与椭圆 交于不同的两点 直线 与直线 l 12 P P 1 1 AP 交于点 P 以原点 O 为圆心 以 为半径的圆与 x 轴交于 两点 M N 点 M 在点 N 的左 22 A P 1 AB 侧 求 的值 PMPN 5 20 本小题 14 分 已知L N 数列 12 n A aaaL 中的项均为不大于L的正整数 k c表示 12 n a aaL中k 的个数 1 kL L 2 定义变换T T将数列A变成数列 T A 12 n t at at a 其中 12 k ccc t kL n L 若4L 对数列A 1 1 2 3 3 4 写出 i c4 i 1的值 已知对任意的 1 2

10、 k kn 存在A中的项 m a 使得 m ak 求证 ii t aa 1 2 in L的充分必要条件为 12 ij cc ijL L 若ln 对于数列 12 n A a aaL 令 12 n T T Ab bbL 求证 ii bt a 1 2 in 6 北京市东城区北京市东城区 2018 20192018 2019 学年度第二学期高三综合练习 一 学年度第二学期高三综合练习 一 2 2 019 4019 4 数学 理科 参考答案及评分标准数学 理科 参考答案及评分标准 一 选择题 一 选择题 共共 8 8 小题 小题 每小题每小题 5 5 分 分 共共 4040 分 分 1 C 2 B 3

11、D 4 A 5 D 6 C 7 B 8 D 二 填空题 二 填空题 共共 6 6 小题 小题 每小题每小题 5 5 分 分 共共 3030 分 分 9 10 60 3 4 11 12 313 1 60 13 答案不唯一 14 0 1 0AB R 三 解答题 三 解答题 共共 6 6 小题 小题 共共 8080 分 分 15 共 13 分 解 由已知 得 解得 1 3 f 11 41 22 a 1a 4cos sin 6 f xxx 2 31 4cos sincos 22 2 3sin cos2cos 3sin2cos21 xxx xxx xx 2sin 2 1 6 x 所以的最小正周期为 2s

12、in 2 1 6 f xx 7 分 由 知 2sin 2 1 6 f xx 当时 0 xm 2 2 666 xm 若在区间上单调递增 f x 0 m 7 则有 即 2 62 m 3 m 所以的最大值为 m 13 分 3 16 共 13 分 解 设表示事件 从 2007 年至 2016 年随机选出 1 年 该年体育产业年增加值比前 A 一年的体育产业年增 加值多亿元以上 500 由题意可知 2009 年 2011 年 2015 年 2016 年满足要求 故 4 分 42 10 5 P A 由题意可知 的所有可能取值为 3 且 X012 3 6 3 10 C1 0 C6 P X 12 46 3 1

13、0 C C1 1 C2 P X 21 46 3 10 C C3 2 C10 P X 3 4 3 10 C1 3 C30 P X 所以的分布列为 X X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 故的期望 X 11316 0123 6210305 E X 10 分 从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大 20082009 从年 开 始 连 续 三 年 的 体 育 产 业 年 增 加 值 方 差 最 2014 大 13 分 8 F E C1 O B B1 A1 A x y z C F E C1 O B B1 A1A C 17 共 14 分 解 连结 CO 因为在平面内的射影为

14、与的交点 C11 A ABB O1 AB 1 AB 所以平面 CO 11 A ABB 由已知三棱柱各棱长均相等 111 ABCABC 所以 且为菱形 ACBC 11 A ABB 由勾股定理得 即 OAOB 11 ABAB 所以四边形为正方形 5 分 11 A ABB 由 知平面 CO 11 A ABB 1 COOA COOA 在正方形中 11 A ABB 1 OAOA 如图建立空间直角坐标系 Oxyz 由题意得 11 0 0 0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 2 2 2 2 OAABCC 2222 0 2 2222 EF 所以 1 2 2 0 0 2 2 A AAC 设平面的法向

15、量为 11 A ACC x y z m 则即 1 0 0 AA AC m m 220 220 xy yz 令则 1 x 1 1 yz 于是 1 1 1 m 又因为 3 22 0 22 EF 设直线与平面所成角为 则 EF11 A ACC 30 sin cos 15 EF EF EF m m m 所以直线与平面所成角的正弦值为 EF 1 A AC 9 10 分 30 15 直线与平面没有公共点 即 平面 EF 1 ACD EF 1 ACD 设点坐标为 与重合时不合题意 所以 D 0 0 0 y DO 0 0y 因为 10 2 0 ADy 1 2 0 2 AC 设为 平 面 111 x y z n

16、 1 ACD 的法向量 则 即 1 1 0 0 AD AC n n 101 11 20 220 xy y xz 令 则 1 1x 1 0 2 y y 1 1z 于是 0 2 1 1 y n 若 平面 EF 1 ACD 0EF n 又 3 22 0 22 EF 所以 解得 0 3 222 0 22y 0 2 3 y 此时平面 EF 1 ACD 所以 2 2 3 AD 1 4 2 3 DB 10 所以 14 分 1 1 2 AD DB 18 共 13 分 解 定义域为 f x 0 2 12 2 1 21 1 2 2 axaxxax fxaxa xxx 由已知 得 解得 1 0 f 1a 当时 1a 21 1 xx fx x 当时 当时 01x 0fx 1x 0fx 所以的递减区间为 单调递增区间为 f x 0 1 1 所以时函数在处取得极小值 1a f x 1x 即的极小值点为时的值为 fx 1a 6 分 1 II 当时 曲线上不存在点位于 轴的下方 理由如下 0 01x yf x Px 由 I 知 21 1 xax fx x 当时 所以在单调递减 不存在极小值点 0a 0fx f x 0