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1、1 微专题 三角形中的面积问题 课后习题 1 在ABC 中 a b c分别为角 A B C的对边 已知2a 3 sin5 sincos0bCcBA 则ABC 面 积的最大值是 解 由正弦定理 sinsin ac AC 35cos0bcbcA 则 3 cos 5 A 2 4 sin1 cos 5 AA 由余弦定理 222 2cosabcbcA 22 6 4 5 bcbc 64 2 55 bcbcbc 当且仅当bc 时取等号 即5bc ABC 的面积 1 sin 2 SbcA 2 5 bc 2 则ABC 面积的最大值是 2 2 半圆O的直径为2 A为直径延长线上的一点 2OA B为半圆上 任意一点
2、 以AB为一边作等边三角形ABC 则四边形OACB面积 的最大值为 解 设AOB 0 则 AOBABCOACB SSS 四边形 2 13 sin 24 AO OBAB 其中由余弦定理 222 2cosABAOBOAO BO 4 1 2 2 1 cos54cos 所以 13 1 2 sin 54cos 24 OACB S 四边形 5 3 sin3cos 4 5 3 2sin 34 5 3 2 4 当 32 即 5 0 6 时 取等号 所以四边形OACB面积的最大值为 5 3 2 4 3 在ABC 中 a b c分别为角 A B C的对边 D为边AB的中点 若cossinbaCcA 且 2CD 则
3、ABC 面积的最大值是 解 由正弦定理 sinsinsin abc ABC 由cossinbaCcA 得到sinsincossinsinBACCA 而在ABC 中 sinsin sin BA CA C sincoscossinACAC 所以cossinACsinsinCA 0 C sin0C 所以cossinAA 2sin 0 4 A 0 A 所以 4 A 在ACD 中 由余弦定理 222 2cosCDACADAC ADA 即 2 2 42cos 224 cc bb 2 2 2 22 c bbc 2 2 bcbc 当且仅当bc 时取等号 2 4 42 2 22 bc ABC 的面积 1 sin
4、 2 SbcA 2 2 1 4 bc ABC 面积的最大值是 2 1 4 在ABC 中 角 A B C所对的边分别为 a b c tan3 tan2 B C 1c 则ABC 面积的最大值是 解 因为 tan3 tan2 B C 所以tan tanBC符号相同 角 B C均为锐角 过点A作AHBC 于点H 设AHh BHx 则CHax 则tan tan hh BC xax tan3 tan2 Bax Cx 则 2 5 xa 由于1c 在直角三角形ABH中 222 ABAHBH 即 22 1xh 所以 2 2 4 1 25 a h 2 2 42 12 255 a hah 即 5 4 ah 当且仅当
5、ah 时等号成立 ABC 的面积 15 28 Sah 所以ABC 面积的最大值是 5 8 5 已知函数 2coscos 36 f xxxxR 1 求函数 f x的最小正周期 2 在ABC 中 角 A B C的对边分别为 a b c 若锐角A满足 1 2 fA 6 C 且2c 求ABC 的面积 解 1 2coscos 36 f xxx 2sincos 236 xx 2sincos 66 xx 3 sin 2x 所以函数的最小正周期 2 T 2 因为 1 2 fA 所以 3 1 sin 2 2 A 即 1 sin 2 23 A 因为A为锐角 所以0 2 A 所以 2 2 333 A 所以2 36
6、A 即 4 A 由正弦定理 sinsin ac AC 即 2 sinsin 46 a 得出2 2a 3 在ABC 中 sinsin sin BA CA C 62 sincoscossin 4 ACAC 所以ABC 的面积 1162 sin2 2213 224 SacB 6 在三角形ABC中 角 A B C所对的边分别为 a b c 已知4a sin2sinAC 1 若5b 求ABC 的面积 2 若8b 证明角B为钝角 解 1 sin2sinAC 即2sincossinAAC 由正弦定理 sinsin ac AC 可得2 cosaAc 再由余弦定理 222 cos 2 bca A bc 可得 2
7、22 2 2 bca ac bc 又因为4a 所以 222 4 16 bcbc 当5b 时 由 222 4 16 bcbc 解得6c 222 3 cos 24 bca A bc 0 A 所以 2 7 sin1 cos 4 AA 所以ABC 的面积 11715 7 sin5 6 2244 SbcA 2 解法一 由 2222 4 bcabc 得到 2 222 4 bc bca 因为8b 所以 2 2222 2 4 bc bcac 所以 222 bca 所以 222 cos0 2 acb B ac 且 0 B 所以角B为钝角 解法二 因为sin2sinAC 而在ABC 中 sinsin sin CABAB 所以2sincossinAAC sin sincoscossinABABAB 由正弦定理 sinsinsin abc ABC 可得2 coscoscosaAaBbA 即 2 coscosabAaB 因为4a 8b 所以角A为锐角 所以cos0A 而 8 cos4cosbAB 所以cos0B 且 0 B 所以角B为钝角
