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1、双曲线的方程【要点梳理】要点一、双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.要点诠释：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5若常数，则动点轨迹为线段F1
2、F2的垂直平分线。要点二、双曲线的标准方程标准方程的推导：如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤(1) 建系设点取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴（2）建立直角坐标系.设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数.(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P=M|M F1|-|M F2|=2a=M|M F1|-|M F2|=2a(3)代数方程(4)化简方程将这个方程移项，
3、两边平方得：化简得：两边再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)由双曲线定义，2c2a 即ca，所以c2-a20设c2-a2=b2(b0)，代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2. 即，其中这就是双曲线的标准方程.双曲线的标准方程：1.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据|MF1|+|MF2|=2a根据|MF1|MF2|=2aac0，a2c2=b2（b0）0ac，c2a2=b2（b0），（ab0），（a0，b0，a不一定大于b）（a最大）
4、（c最大）标准方程统一为：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件方程Ax2+By2=C可化为，即，所以只有A、B异号，方程表示双曲线。当时，双曲线的焦点在x轴上；当时，双曲线的焦点在y轴上。要点诠释：1.当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。2.双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ca，cb，且c2=b2+a2。3.双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看
5、x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。4.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。要点三、求双曲线的标准方程待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。要点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量。若两种类型都有可能，则需分类讨论.【典型例题
6、】类型一：双曲线的定义例1已知点F1(4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线方程为()A. B.1(y0) C. 或 D. (x0)【变式1】已知定点F1(2,0)、F2(2,0)，平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（ ）A|PF1|PF2|=3 B|PF1|PF2|=4C|PF1|PF2|=5 D|PF1|2|PF2|2=4 【变式2】已知点F1(0,13)、F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为（ ）Ay=0 By=0（x13或x13）Cx=0（|y|13） D以上都不对例2.P是双曲线上一点，双曲线的
7、两个焦点，且求值【变式1】已知点P(x,y)的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ）A椭圆 B双曲线中的一支 C两条射线 D以上都不对【变式2】动圆与圆x2y21和x2y28x120都相外切，则动圆圆心的轨迹为()A双曲线的一支 B圆 C抛物线 D双曲线类型二：双曲线的标准方程例3已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程。【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）已知两焦点,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8.（2）双曲线的一个焦点坐标为，经过点.【变式2】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且虚轴长与实轴长的比为，
8、焦距为10的双曲线的标准方程.例4求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。【变式】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且顶点在轴，焦距为10，的双曲线的标准方程.类型三：双曲线与椭圆例5.讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征【变式1】设双曲线方程与椭圆有共同焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点为A，且A的纵坐标为4，求双曲线的方程.【变式2】若双曲线(m0，n0)和椭圆(ab0)有相同的焦点F1，F2，M为两曲线的交点，则|MF1|MF2|等于_类型四：双曲线方程的综合应用例6. 已知A,B两地相距2000m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4s,且已知当时的声速是330m/s,求炮弹爆炸点
9、所在的曲线方程.【变式】设声速为，在相距10am的A,B两个观察所听到一声爆破声的时间差为6秒，且记录B处的声强是A处声强的4倍，若已知声速声强与距离的平方成反比，试确定爆炸点P到AB中点M的距离.【巩固练习】1、 选择题1“ab0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（ ）A.必要条件但不是充分条件 B.充分条件但不是必要条件C.充分必要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件2平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是()A双曲线B一条直线 C一条线段 D两条射线3已知方程表示双曲线，则k的取值范围是()A1k0 Ck0 Dk1或k14以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是()A. B C. D.5“abn0)和双曲线(a0，b0)有相同的焦点，P是两曲线的一个交点，求|PF1|PF2|的值.15如图，已知双曲线的离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，F1PF260，求双曲线的标准方程7
