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1、第十五章不等式选讲考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度不等式的解法及证明1.理解绝对值的几何意义并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|a|+|b|(a,bR),|a-b|a-c|+|c-b|(a,b,cR)2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|c;|ax+b|c;|x-c|+|x-b|a3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法等2017课标全国,23;2017课标全国,23;2017课标全国,23;2016课标全国,24;2016课标全国,24;2016课标全国,24;2015课标,24;2015课标,24填空题、
2、解答题分析解读不等式选讲是高考的选考内容之一,主要考查绝对值的几何意义,绝对值不等式的解法及不等式证明的基本方法.本节内容在高考中分值为10分,属中档题.(1)当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.当x1时,式化为x2+x-40,从而10,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+3(a+b)24(
3、a+b)=2+3(a+b)34,所以(a+b)38,因此a+b2.2.(2017课标全国,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解析(1)f(x)=-3,x2.当x2时,由f(x)1得x2.所以f(x)1的解集为x|x1.(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-|x|-322+5454,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x2+x=54.故m的取值范围为-,54.3.(2016课标
4、全国,24,10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时, f(x)+g(x)3,求a的取值范围.解析(1)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26得-1x3.因此f(x)6的解集为x|-1x3.(5分)(2)当xR时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当xR时, f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3.(7分)当a1时,等价于1-a+a3,无解.当a1时,等价于a-1+a
5、3,解得a2.所以a的取值范围是2,+).(10分)4.(2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.解析(1)f(x)=-2x,x-12,1,-12x12,2x,x12.(2分)当x-12时,由f(x)2得-2x-1;(3分)当-12x12时, f(x)2;(4分)当x12时,由f(x)2得2x2,解得x1,(5分)所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(6分)(2)证明:由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(
6、a2-1)(1-b2)0,因此|a+b|0.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解析(1)证明:当a=1时,f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10.当x-1时,不等式化为x-40,无解;当-1x0,解得23x0,解得1x1的解集为x23x2.(5分)(2)由题设可得, f(x)=x-1-2a,xa.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)26,故a2.所以a的取值范围为(2,+).(10分
7、)6.(2015课标,24,10分)选修45:不等式选讲设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:(1)若abcd,则a+bc+d;(2)a+bc+d是|a-b|cd得(a+b)2(c+d)2.因此a+bc+d.(2)(i)若|a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.由(1)得a+bc+d.(ii)若a+bc+d,则(a+b)2(c+d)2,即a+b+2abc+d+2cd.因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|c+d是|a-b|0,b0,且1a+1b=ab.(1)求a3
8、+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解析(1)由ab=1a+1b2ab,得ab2,且当a=b=2时等号成立.故a3+b32a3b342,且当a=b=2时等号成立.所以a3+b3的最小值为42.(2)由(1)知,2a+3b26ab43.由于436,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.教师用书专用(815)8.(2014陕西,15A,5分)(不等式选做题)设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则m2+n2的最小值为.答案59.(2014江西,15,5分)x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,则x+y的取值范围为.答案0,210.(
9、2013陕西,15A,5分)(不等式选做题)设a,bR,|a-b|2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|2的解集是.答案(-,+)11.(2015陕西,24,10分)选修45:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解析(1)由|x+a|b,得-b-axb-a,则-b-a=2,b-a=4,解得a=-3,b=1.(2)-3t+12+ t=34-t+ t(3)2+12(4-t)2+(t)2=24-t+t=4,当且仅当4-t3=t1,即t=1时等号成立,故(-3t+12+ t)max=4.12.(2014辽宁,24
10、,10分)选修45:不等式选讲设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)1的解集为M,g(x)4的解集为N.(1)求M;(2)当xMN时,证明:x2f(x)+xf(x)214.解析(1)f(x)=3x-3,x1,+),1-x,x(-,1).当x1时,由f(x)=3x-31得x43,故1x43;当x1时,由f(x)=1-x1得x0,故0x0).(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)0,有f(x)=x+1a+|x-a|x+1a-(x-a) =1a+a2,所以f(x)2.(2)f(3)=3+1a+|3-a|.当a3时, f(3)=a+1a,由f(3)5得3a5+
11、212.当0a3时, f(3)=6-a+1a,由f(3)5得1+52a3.综上,a的取值范围是1+52,5+212.14.(2013课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当x-a2,12时, f(x)g(x),求a的取值范围.解析(1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=-5x,x1.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是x|0x2.(2)当x-a2,12时, f(x)=1+a.不等式f(x)g(x)化为1+ax+3.所以xa-2对x-a2,12都成立.故-a2a-2,即a43.从而a的取值范围是-1,43.15.(2013课标全国
