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1、.专业整理. 1306052104学号学校代码10722 O175.1密级公开分类号题 目 （中、英文）差分方程模型的稳定性分析贾探春论Stability analysis of difference equation modelthe- Jia On Tanchun 党臭燕作者姓名 数学与应用数学专业名称 理 学学科门类 王振华 二零一六年六月 成绩评定提交论文日期指导教师 .学习帮手.专业整理.摘 要微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来
2、建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。关键字：差分方程； 差分方程模型； 平衡点； 稳定性 AbstractDif
3、ference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free ma
4、rket economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in t
5、he same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation.Key word
6、s:Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability 目录摘 要IAbstractII目录III引言11、差分方程的定义及其分类1（1）差分算子：12. 差分方程的求解与稳定性判断方法:2（1）差分方程的求解：2（2）.差分方程的平衡解稳定性判断方法：43. 差分方程模型的应用：43.1模型：种群模型4311模型的引入与假设4312线性差分方程模型的建立与求解5313生态模型的平衡点及稳定性分析:7总结10参考文献11附录12谢 辞13 .学习帮手.专业整理.引言 随着科学技术的不断发展，将数学思想
7、融入实际生活解决社会问题变得非常普遍。所以利用差分方程建立模型也显得至关重要。在经济、社会、生态、医疗、网络、遗传学得某些数据都是按时、日、周、星期、月份、年等汇总和统计的，这时将时间离散化后建立差分方程模型更为方便，从而解决社会问题趋于稳定的状态，它是描述客观世界中随离散变量演变规律的一种重要的建立模型的方法，在现实生活中有很多问题都是借助差分方程模型来刻画并求解的，利用数学的思路与想法来研究实际问题，从而确保某个体系稳定运作的条件，进一步再结合其他条件分析，为客观体系的安全稳定运作提供理论上的保障，因此差分方程模型的稳定性分析是我们数学中研究的一个重要课题。 本文以同一空间下的羊群和草群的
8、相互作用为模型分析这两物种的数量变化过程，进而研究线性差分方程的平衡点及其稳定性；最后根据差分方程的平衡点及其稳定性分析的相关理论解决实际问题。我相信差分方程的稳定性相关理论将在未来更为应用普遍。 1、差分方程的定义及其分类 （1）差分算子：定义1：设是定义在R上的函数，则称在的差分，称为差分算子，称在的位移，E称为位移算子；用I表示恒等算子，即,这些算子都是线性算子，都是针对函数所定义的映射。 （2)差分方程：定义2：含有未知函数及未知函数差分的等式，我们称为差分方程，它的一般表达形式为： 由（1）与（2）的关系，可以将阶数为的差分方程写为 或者我们称不显含时的方程为自治差分方程。形如表示一
9、阶差分方程；表示n阶差分方程。（2） 差分方程的分类：差分方程可以分为两大类：其一为线性差分方程，它是指当是的线性函数时，称为线性差分方程；也就是说的次数都为，其二为非线性差分方程，它是指当是的非线性函数时，称为非线性差分方程。显而易见，非线性差分方程求解比线性差分方程求解复杂，因此它的解的性态也比较难分析，本文我们只研究线性差分方程解的性态。2. 差分方程的求解与稳定性判断方法:（1）差分方程的求解：使得差分方程称为恒等式的序列称为差分方程的解。满足方程及初始条件的序列称为初始值问题的解，形如，称为自治差分方程的初始问题；当含有时， 称为非自治差分方程的初始值问题。那么，现在知道差分方程的解
10、的定义，问题是如何求出一个差分方程的解呢？这里我们给出普遍的解法-迭代法定义3：连续用变量的原值推算出新值的一种递推过程称为迭代法。下面介绍一个具体的迭代过程：类比常系数一阶微分方程的解法，我们可以容易求得常系数一阶差分方程的通解为： 式中为任何常数。现在将代入通解中可得，所以满足初始条件的特解为。于是我们可得：； 现在我们利用该方法来求解以下方程的初始值问题：例1： 解:其解序列的前几个为：； 这个初始值问题解的一般形式是。那么此差分方程也满足其他初始条件的解，显然和都是此差分方程的解。如果其方程满足初始值，那么它的解的一般形式为。这里注意此差分方程的解当时的极限：当时，有。例2 解：将其转
11、化为其解序列的前几个利用迭代法可得：；（2）.差分方程的平衡解稳定性判断方法：定义4：若有，使=，则为差分方程的平衡点，是差分方程满足如果对任意给定的正数，有0,使得当时，对所有的都成立，则称差分方程的平衡解是稳定的，否则，称为不稳定的。 我们也可以定理1.31（参考文献432页）分析差分方程平衡解的稳定性。其定理为;设有连续的三阶导数，为差分方程的平衡解，则时，是渐进稳定的，时，是不稳定的；当=，0时，是不稳定的，当=，=0，0时，是不稳定的，当=1，=0，0时,是稳定的；当=，0,是不稳定的。 对于阶数为的线性差分方程平衡点的稳定性条件是它的特征解，也就是次代数方程的解均有。3. 差分方程
12、模型的应用：3.1模型：种群模型3.11模型的引入与假设 在某个生态环境中，羊以草为食。研究将羊群放入草场后羊和草两种群在同一环境下的种群数量变化。草的生长遵循Logistic规律（当草群数量太大时，种群会发生生存竞争，草群的增长率受到环境最大容纳量等因素的影响，从而导致增长率的降低）每年固有增长率为0.7，最大密度为2800（密度单位），在草最茂盛时每只羊每年可吃掉1.2（密度单位）的草。若没有草，羊群的年死亡率高达0.8，然而草的存在可使羊的死亡得以补偿，在草最茂盛的时候补偿率为1.1.在这种情况下，羊群和草群的种群数量将如何变化，羊会把草吃完从而导致羊的数量也减少还是两种群的数量趋于稳定
13、呢?这里我们以200只羊放入密度为1000和密度为2800的草场两种情况分析。通常，以建立模型的用途为出发点，我们将连续对象离散化更为方便，从而我们采用差分方程建立模型来描述羊和草两物种的数量变化过程。模型假设： 1.草场上除了羊群以外，没有其他以草为食的生物； 2.草独立生存且遵从logistic规律； 3.没有草的情况下羊一定会死； 4.假设每只羊每年的食草能力是草场密度的线性函数； 5.假设草对羊的补偿率也是草场密度的线性函数。3.12线性差分方程模型的建立与求解 分析：假设第年草的密度为，羊的数量为，第年草的密度为，羊的数量为。记草的固有增长率为，草的最大密度为，羊独立生存时的年死亡率为，草最茂盛时羊的吃草能力为，草对鹿的年补偿作用为。 建立差分方程模型：草的增长差分模型为 （草独立生存时满足logistic增长规律）但实际上羊对草增长有影响，草的数量会减少，则方程变为 （） （1）羊的增长差分模型为 （羊独立生存时）但实际上草的存在可以补偿羊的死亡率，则方程变为 （） （2）此外，记初始状态草场的密度为，初始状态羊的数量为，各个参数值为 利用MATLAB软件分析计算该差分方程模型：具体算法见附录将密度为1000和密度为2800的草场上分别放200只羊时的两种情况如下（如图1）： 由图中可以看到，蓝色曲线代表草
