《北京市2019年高考数学压轴卷理含解析201905140117》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市2019年高考数学压轴卷理含解析201905140117（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 北京市北京市 20192019 年高考数学压轴卷年高考数学压轴卷 理 含解析 理 含解析 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合 题目要求的一项 1 已知 1i i1i bb R 则b的值为 A 1 B 1 C i D i 2 下列函数中 值域为 R 的偶函数是 A y x2 1 B y ex e x C y lg x D 2 xy 3 若变量y yx x 满足约束条件 2 2 1 1 0 0 x xy y x x y y 则y yx xz z 2 2的最大值为 A 0 B 2 C 3 D 4 4 某程序框图如图所示 执行该程序 若输入的a
2、值为 1 则输出的a值为 输出 输入 开始 结束 是 否 A 1 B 2 C 3D 5 5 某四棱锥的三视图如图所示 则该四棱锥的侧面积是 A 27 B 30 C 32D 36 2 6 6 4ab 是直线210 xay 与直线220bxy 平行的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7 7 已知点 2 2 2 2 0 0 Q Q及抛物线 2 2 4 4x xy y 上一动点 P x y 则 yPQ 的最小值是 A 1 2 B 1 C 2 D 3 8 设函数 f x的定义域D 如果存在正实数m 使得对任意xD 都有 f xmf x 则称 f x
3、为D上的 m型增函数 已知函数 f x是定义在R上的 奇函数 且当0 x 时 f xxaa aR 若 f x为R上的 20 型增函数 则实数a的取值范围是 A 0a B 5a C 10a D 20a 二二 填空题填空题 本大题共本大题共 6 6 个小题个小题 每小题每小题 5 5 分分 满分满分 3030 分分 把答案填在题中的横线上把答案填在题中的横线上 9 函数2sin 2 1 6 yx 的最小正周期是 最小值是 10 已知 且 1 14 yx 若恒成立 则实数 的取值x 0 y 0 x y m2 m 3m 范围是 11 如果平面直角坐标系中的两点 1 1 A aa B a a关于直线l对
4、称 那么直线 l的方程为 12 5 1 x x的二项展开式中x项的系数为 用数字作答 13 若 则 有 小 到 大 排 列 01ab b xa a yb logbza xyz 为 14 数列 n a满足 11 2 1 nnn aaa nnN 给出下述命题 3 若数列 n a满足 21 aa 则 1 1 nn aannN 成立 存在常数c 使得 n ac nN 成立 若 pqmnp q m nN 其中 则 pqmn aaaa 存在常数d 使得 1 1 n aand nN 都成立 上述命题正确的是 写出所有正确结论的序号 三三 解答题解答题 本大题共本大题共 6 6 小题小题 共共 8080 分分
5、 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程演算步骤或证明过程 15 本小题满分 13 分 在中 已知 ABC 312 cos 413 AC 13 BC 求的长 AB 求边上的中线的长 BCAD 16 本小题满分 13 分 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况 随机抽取了 100 人 统计结果整理如下 20 以下 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 1 现随机抽取 1 名顾客 试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率 30
6、 50 2 从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中 随机抽取 3 人进一步了解情况 用 50 70 表示这 3 人中年龄在的人数 求随机变量 的分布列及数学期望 50 60 3 为鼓励顾客使用自由购 该超市拟对使用自由购的顾客赠送 1 个环保购物袋 若某日 该超市预计有 5000 人购物 试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋 17 本小题满分 13 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是平行四边形 BCD 135 侧面 PAB 底面 ABCD BAP 90 AB AC PA 2 E F 分别为 BC AD 的中点 点 M 在线段 PD 上 求证 EF 平面 PAC 若 M
7、为 PD 的中点 求证 ME 平面 PAB 4 如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等 求的 值 18 本小题满分 14 分 已知函数 2 e 1 0 2 x m f xxxm 当时 求函数的极小值 0m f x 当时 讨论的单调性 0m f x 若函数在区间上有且只有一个零点 求的取值范围 f x 1 m 19 本小题满分 14 分 已知圆 O 22 1xy 的切线l与椭圆 C 22 34xy 相交于A B两点 1 求椭圆C的离心率 2 求证 OAOB 3 求OAB 面积的最大值 20 本小题共 13 分 已知曲线 n C的方程为 1 nn xy
8、nN 1 分别求出1 2nn 时 曲线 n C所围成的图形的面积 2 若 n SnN 表示曲线 n C所围成的图形的面积 求证 n SnN 关于n是递 增的 3 若方程 2 nnn xyznnN 0 xyz 没有正整数解 求证 曲线 2 n C nnN 上任一点对应的坐标 x y x y不能全是有理数 1 答案 A 解析 试题分析 因为 1 bi i i bi2 b i 1 i 所以 1b 1b 2 答案 C 解析 试题分析 y x2 1 是偶函数 值域为 1 y ex e x 是奇函数 y lg x 是偶函数 值域为 R 的值域 0 2 xy 5 故选 C 3 答案 D 解析 作出约束条件表
9、示的可行域 如图 ABC 内部 含边界 作直线 20lxy z是直线 2xyz 的纵截距 向上平移直线l z增大 当直线l过点 2 0 B 时 24zxy 为最大值 故选 D 4 答案 C 解析 由题知 a 1 i 1 a 2 1 1 i 2 否 a 3 i 3 否 a 6 3 3 i 4 是 则输出的 a 为 3 5 答案 A 解析 四棱锥的底面是边长为 3 的正方形 侧面是两个直角边长为 3 4 的直角三角 形 两 个 直 角 边 长 为 3 5 的 直 角 三 角 形 该 四 棱 锥 的 侧 面 积 是 故选 A 27253 2 1 243 2 1 6 答案 B 解析 时 直线与直线不平
10、行 所以直线0 a012 ayx022 ybx 与 直 线平 行 的 充 要 条 件 是 即且012 ayx022 ybx 1 22 2 a b 4 ab 所以 是直线与直线平行的必要不 4 1 ba4 ab012 ayx022 ybx 充分条件 故选 B 7 答案 C 解析 由抛物线的定义知 0 1 F 1PFy 22 1 1 2 20 0 1 13 12yPQPFPQFQ 即当 P Q F三点共线时 值最小 故选 C 6 8 答案 B 解析 若 0a 当 0 x 时 f xxaaxx 又 f x 是定义在R上 的奇函数 f xx 符合题意 若 0a 当 0 x 时 0 2 xxa f xx
11、aa xa xa 又 f x 是定义在R上的奇函数 f x 大致的函数图象如下图所示 根据题意可 知 20 f xf x 对于任意x R 恒成立 问题等价于将 f x 的图象向左平移 20 个单 位后得到的新的函数 20 f x 图象恒在 f x 图象上方 根据图象可知4 20a 即 05a 综上实数a的取值范围是 5 故选 B 9 答案 1 解析 最小值是 2 11 故填 2 22 T1 10 答案 2 3 解析 恒成立 且 x 0y 0 x y min m2 m 3 4 x 1 y 1 x y x y 4 x 1 y 5 4y x x y 5 2 4y x x y 9 因为恒成立 x y
12、min m2 m 3 m2 m 3 9 3 m 2 11 答案 01 yx 解析 直线AB斜率为 所以 斜率为 1 设直线方程为 1 1 1 aa aa lbxy 由已知直线过点 所以 即所以直线方程为 1 aa baa 11 b01 yx 12 答案 5 解析 展开式通项为 5 3 5 2 155 1 1 r rrrrr r TCxC x x 令 53 1 2 r 1r 所以x项的系数为 11 5 1 5C 13 答案 xyz 解析 取特殊值 令 则 1 4 a 1 2 b 1 211 42 b xa 1 411 22 a yb 则 即 1 2 1 loglog2 4 b za 1 411
13、2 22 xyz 7 14 答案 解 析 试 题 分 析 对 因 为 21 aa 所 以 21 0aa 由 已 知 11nnnn aaaa 所以 1121 0 nnnn aaaaaa 即 1nn aa 正确 对 假设存在在常数c 使得 n ac 则有 1 2 nn n aa ca 所以 11nn aa 应有 最大值 错 对 因为 pqmn 22 pqmn 所以假设 pqmn aaaa 则应有 22 p qm n aa 即原数列应为递增数列 错 对 不妨设 1 1a 1nn aan 则 1 1 2 n n n a 若存在常数d 使得 1 1 n aand 应有 1 12 n aan d n 显然
14、成立 正确 所以正确命题的序号为 15 本小题满分 13 分 解 由 所以 12 cos 13 C 0 2 C 5 sin 13 C 由正弦定理得 即 6 分 sinsin ABBC CA 5 sin 13 135 2 sin2 2 C ABBC A 在中 ABD 32217 2 coscos cossin 42226 BCCC 由余弦定理得 222 2cosADABBDAB BDB 所以 2 AD 2 16913 17 229 5 2 2 5 2 42264 所以 29 2 AD 答案 1 2 详见解析 3 2200 17 100 解析 1 在随机抽取的 100 名顾客中 年龄在且未使用自由
15、购的共有 30 5031417 8 人 所以随机抽取 1 名顾客 估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为 30 50 17 100 P 2 所有的可能取值为 1 2 3 X 12 42 3 6 C C1 1 5C P X 21 42 3 6 C C3 2 5C P X 30 42 3 6 C C1 3 5C P X 所以的分布列为 X X1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 所以的数学期望为 X 131 1232 555 EX 3 在随机抽取的 100 名顾客中 使用自由购的共有人 3121764244 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 44 50002200 100 17 答
16、案 见解析 见解析 33 2 解析 试题分析 证明 AB AC EF AC 推出 PA 底面 ABCD 即可说明 PA EF 然后证明 EF 平面 PAC 证明 MF PA 然后证明 MF 平面 PAB EF 平面 PAB 即可证明平面 MEF 平面 PAB 从而证明 ME 平面 PAB 以 AB AC AP 分别为 x 轴 y 轴和 z 轴 如上图建立空间直角坐标系 求出相 关点的坐标 平面 ABCD 的法向量 平面 PBC 的法向量 利用直线 ME 与平面 PBC 所成的角和 此直线与平面 ABCD 所成的角相等 列出方程求解即可 试题解析 证明 在平行四边形 ABCD 中 因为 AB AC BCD 135 ABC 45 所以 AB AC 由 E F 分别为 BC AD 的中点 得 EF AB 所以 EF AC 因为侧面 PAB 底面 ABCD 且 BAP 90 所以 PA 底面 ABCD 又因为 EF 底面 ABCD 所以 PA EF 又因为 PA AC A PA 平面 PAC AC 平面 PAC 所以 EF 平面 PAC 证明 因为 M 为 PD 的中点 F 分别为 AD 的中
