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1、1 安徽省阜阳市第三中学安徽省阜阳市第三中学 2018 20192018 2019 学年高二竞培中心下学期开学学年高二竞培中心下学期开学 考试文科数学试题考试文科数学试题 一 选择题 共 60 分 1 已知函数f x 是偶函数 若在 0 为增函数 f 1 0 则 0 的解集 为 A B 0 1 1 0 1 C D 1 1 1 0 0 1 2 定义在 R 上的函数 f x 满足则 f 2019 的值 log2 1 0 1 2 0 为 A 2 B 1 C 2 D 0 3 已知定义在 R 上的函数满足以下三个条件 对于任意的 都有 对于任意的都有 函数 4 1 2 且 0 1 2 2 1 2 的图象
2、关于 y 轴对称 则下列结论中正确的是 2 A B 7 4 5 6 5 4 5 7 6 5 C D 7 6 5 4 5 4 5 6 5 5 已知x1 x2分别是函数f x ex x 4 g x lnx x 4 的零点 则的值 1 ln 2 为 A B C 3 D 4 2 ln3 ln3 6 已知函数 若关于x的不等式恰有一个 2 0 2 0 2 2 0 整数解 则实数a的最大值为 A 2 B 4 C 6 D 8 7 已知函数与的图象上存在关于 轴对 2 2 1 2 1 斯圆 则下列结论中正确的是 A 曲线C关于x轴对称 B 曲线C关于y轴对称 C 曲线C关于坐标原点对称 D 曲线C经过坐标原点
3、 11 已知是椭圆的两个焦点 点 在椭圆上 当 1 3 0 2 3 0 2 2 1 1 2 时 的面积最大 则的值是 2 3 1 2 A 41 B 15 C 9 D 1 12 设函数 f x ex 2x 1 ax a 其中 a 1 若存在唯一的整数 x0使得 f x0 0 则 a 的取值范围是 A 1 B C D 1 3 2 3 2 3 2 3 2 二 填空题 共 20 分 13 命题 的否定是 0 3 0 14 已知角 终边上有一点 则 1 2 sin 2 sin 2 cos 3 2 cos 15 已知椭圆 C 是其两个焦点 P 为 C 上任意一点 则的最 2 4 2 1 1 2 1 2 大
4、值为 16 已知定义在的两个函数和 是自然对数的底 若 1 2 ln 在的解集内有且只有两个整数 则实数的范围是 1 3 三 解答题 共 70 分 17 10 分 已 知 函 数的 部 分 图 像 如 图 其 中 1 2 0 0 1 1 求椭圆 的方程 2 设直线经过点且与椭圆 相交于 两点 异于点 记直线的斜率为 2 1 直线的斜率为 证明 为定值 1 2 1 2 21 12 分 已知抛物线上一点的纵坐标为 6 且点到焦点 的距 2 2 0 离为 7 1 求抛物线 的方程 2 设为过焦点 且互相垂直的两条直线 直线 与抛物线 相交于两点 直线 1 2 1 2 与抛物线 相交于点两点 若直线
5、的斜率为 且 试求 的 1 0 8 值 22 12 分 已知函数 若曲线在点处的切线与直线 ln 1 1 平行 1 0 1 求 的值 2 求函数的单调区间和极值 3 试判断函数的零点个数 并说明理由 e 2 阜阳三中 2018 2019 学年第二学期竞二年级开学考试 文科数学参考答案 1 B 解析 分析 根据题意 结合函数的单调性以及特殊值可得在 0 1 上 f x 0 在 1 上 f x 0 结合函数的奇偶性可得在 1 0 上 f x 0 在 1 上 f x 0 又由 0 据此分析可得答案 0 或 0 0 详解 根据题意 f x 在 0 为增函数 且 f 1 0 则在 0 1 上 f x 0
6、 在 1 上 f x 0 又由函数 f x 为偶函数 则在 1 0 上 f x 0 在 1 上 f x 0 0 0 或 0 0 1 2 1 2 3 两式相加可得 所以周期为 6 3 2019 3 2 1 0 21 0 故选 D 点睛 本题主要考查利用函数的周期求值 先利用周期把所求化到已知区间 再代入对应的解析式 即可 3 B 解析 分析 由 可知函数 f x 是周期 T 4 的周期函数 由 可得函数 f x 在 0 2 上单调递增 由 可得函数 f x 的图象关于直线 x 2 对称 于是 f 4 5 f 0 5 f 7 f 3 f 1 f 6 5 f 2 5 f 1 5 即可得出结果 详解
7、定义在 R 上的函数 y f x 满足以下三个条件 由 对于任意的 x R 都有 f x 4 f x 可知函数 f x 是周期 T 4 的周期函数 对于任意的 x1 x2 R 且 0 x1 x2 2 都有 f x1 f x2 可得函数 f x 在 0 2 上单调递增 函数 y f x 2 的图象关于 y 轴对称 可得函数 f x 的图象关于直线 x 2 对称 f 4 5 f 0 5 f 7 f 3 f 1 f 6 5 f 2 5 f 1 5 f 0 5 f 1 f 1 5 f 4 5 f 7 f 6 5 故选 B 点睛 本题考查了函数的图象与性质 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 熟练掌握
8、函数的 周期性 单调性 对称性是解题的关键 4 C 解析 分析 利用指数和对数函数的单调性即可得到 a b c 的大小关系 详解 对数函数 y lnx 在上单调递增 a lnx ln1 0 1 1 指数函数在上单调递减 1 2 1 1 1 2 1 2 1 指数函数在上单调递增 y 1 1 1 由幂函数的性质可知 1 2 1 1 即 a b 0 0 0 0 2 0 1 2 0 log 2 0 即函数 与 的图像在 上有交点 2 0 1 2 log 2 0 2 1 2 log2 0 如图所示 可知若函数 与的图象在上有交点 则当 时 满 2 1 2 log2 0 足 即 易知当 时 函数 与log
9、2 0 20 1 2 log2 1 2 0 0 0 0 即函数 与 的图像在 上有交点 2 0 1 2 log 2 0 2 1 2 log2 0 作出函数的草图 当 时 满足 即 易知当 时 函数 0log2 1 2 0 1 2 1 2 2 1 2 所以 故圆不经过坐标原点 D 选项是错误的 2 1 2 1 2 2 1 点睛 本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程 考查对新概念的理解 考查图形的对称性 属于中档题 11 B 解析 分析 由 当 时 F1PF2面积最大 可得此时点P为椭圆的一个短轴的端点 1 2 2 3 F1PO 可得a 又c 3 a2 b2 c2 联立解出即可 3 1 2 详
10、解 当 时 F1PF2面积最大 1 2 2 3 此时点P为椭圆的一个短轴的端点 F1PO 3 a 又c 3 a2 b2 c2 1 2 联立解得b2 3 a2 12 m n a2 b2 15 故选 B 点睛 本题考查了椭圆的标准方程及其性质 三角形面积计算公式 直角三角形的边角关系 考查 了推理能力与计算能力 属于中档题 12 D 解析 分析 设 问 题 转 化 为 存 在 唯 一 的 整 数使 得在 直 线 2 1 0 0 的下方 利用导数数形结合并解关于 的不等式组可得 详解 解 设 2 1 由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方 0 0 2 1 2 2 1 当时 当时 1 2 1 2 0
11、当时 取最小值 1 2 2 1 2 当时 当时 1 0 0 1 1 0 直线恒过定点且斜率为 1 0 故且 解得 0 1 1 3 1 3 2 1 故选 点睛 本题考查导数和极值 涉及数形结合和转化的思想 属中档题 13 0 0 03 0 0 解析 分析 根据全称命题的否定是特称命题 写出结论 详解 原 命 题 是 全 称 命 题 故 其 否 定 是 特 称 命 题 所 以 原 命 题 的 否 定 是 0 0 03 0 1 ln 1 2eln ln 图像上方只有两个横坐标为整数的点 利用导数画出的图像 结合图 1 2eln 1 2eln 像列出不等式组 解不等式组求得的取值范围 详解 化简不等式
12、 得 构造函数和 需 1 ln 1 2eln ln 1 2eln 要满足图像在图像上方的点的横坐标有且只有两个整数 ln 1 2eln 故函数在上递减 在上递增 且当 1 2eln 2e ln 1 2 1 2eln 1 e e e 时 函数值小于零 当时 在上递增 画出图像如下图所示 由图 0 ln 1 可知图像在图像上方的点不止两个整数 故不符合题意 ln 1 2eln 当时 显然不符合题意 当时 画出图像如下图所示 由图可知 0 2 3 3 4 4 即 解得 即的取值范围是 ln2 1 2eln2 2 ln3 1 2eln3 3 ln4 1 2eln4 4 1 ln3 2 3e 1 ln4
13、 e 2 1 ln3 2 3 e 1 ln4 e 2 点睛 本小题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式 考查了对数函数的图像与性质 考 查了利用导数研究函数图像与性质 对于题目给定的 转为两个函数的图像来 0 0 1 1 又 2 4 2 椭圆 的标准方程为 2 4 2 1 2 若直线的斜率不存在 则直线的方程为 2 此时直线与椭圆相切 不符合题意 设直线的方程为 即 1 2 2 1 联立 得 2 1 2 4 2 1 1 4 2 2 8 2 1 16 2 16 0 设 则 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1
14、 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 8 2 1 16 1 2 2 1 1 为定值 且定值为 1 1 2 点睛 求定值问题常见的方法 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 21 1 2 或 2 4 1 1 解析 分析 1 由题得 解得 故抛物线 的方程为 2 由题意可知 的方程为6 2 7 2 2 4 1 先 求 出 由 得 1 0 2 2 1 2 2 1 8 解得或 2 2 1 2 2 1 8 1 1 详解 1 由抛物线的定义知 点到抛物线的准线 的距离为 7 又抛物线 的准线方程为 2 所以 解得 6 2 7 2
15、故抛物线 的方程为 2 4 2 由题意可知 的方程为 设 1 1 0 1 1 2 2 由消去 整理得 1 2 4 2 4 4 0 则 1 2 4 1 2 4 16 2 1 0 1 2 1 2 1 2 1 1 216 2 1 4 2 1 又点 到直线的距离 1 2 1 则 1 2 1 2 4 2 1 1 2 1 2 2 1 因为 同理可得 1 2 2 1 2 1 2 2 1 由 得 82 2 1 2 2 1 8 解得 即或 2 1 1 1 点睛 本题主要考查抛物线方程的求法 考查直线和抛物线的位置关系和三角形面积的计算 意在 考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力 22 单调递减区间 单
16、调递减区间 极大值为 个 1 02 e 32 理由见解析 解析 分析 1 利用导数的几何意义求出x 1 处的切线方程 2 当a 0 时 利用导数判断出f x 的单调增区间与单调减区间 从而求出极值 3 函数的零点个数等价于 y 与图象的交点个数 e 2 ln 1 e2 详解 1 ln 1 ln 2 1 ln 2 即 1 1 1 0 2 ln 令 1 ln 2 0 e e e 0 极大值 单调递增区间为 单调递减区间为 e 极大值为 1 e 当时 即为 由 作出大致图象 3 ln e 2 0 ln 1 e2 2 由图可知与有两个点 即有 个零点 ln 1 e2 2 点睛 1 函数零点个数 方程根的个数 的判断方法 结合零点存在性定理 利用函数的单 调性 对称性确定函数零点个数 利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个 数 2 本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决 解题时注意图象的渐 近线
