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1、.专业整理.中学生数学解题能力的探测与评价前言通过多年的高三数学教学，本人认为，中学生数学解题能力可能由四大部分构成，一是对量与量（包括空间的量）之间的关系的感知能力；二是用数学符号与字母进行思维的能力；三是对数学关系、特征、原则和方法的记忆能力；四是逻辑表达能力。这四个方面就是信息收集、信息加工、信息储存和信息输出。信息收集指的是获得信息，多方思考，理解并掌握它们；信息加工指的是处理和变换已有的信息，得出答案；信息储存指的是解题的过程和结果在大脑中留下痕迹，从而丰富解题经验；信息输出指的是把解答过程完美无缺地写出来。数学解题所需要的各种能力可以按照这四大部分分别划入其中。如果能根据上述能力结
2、构，配置一系列试题，对中学生数学解题能力进行探测，最后根据其测试结果向学生提出学习建议，可能有益于学生的数学学习。本项教学研究未能全部完成，仅供参考。目录中学生数学解题能力的探测与评价1前言11 中学生数学解题能力结构21.1 对量与量（包括空间的量）之间的关系的感知能力（即信息收集）21.2 用数学符号与字母进行思维的能力（即信息加工）21.3 对数学关系、特征、原则和方法的记忆能力（即信息储存）21.4 逻辑表达能力（即信息输出）32 中学生数学解题能力探测与评价3系列13系列23系列33系列44系列54系列64系列4-系列6的综合评价5系列75系列85系列96系列106系列116系列12
3、6系列137系列147系列157系列1673 数学能力探测试卷、参考答案及评价8数学能力探测试卷（系列1）8数学能力探测试卷（系列2）9数学能力探测试卷（系列3）11数学能力探测试卷（系列4）13数学能力探测试卷（系列5）15数学能力探测试卷（系列6）17数学能力探测试卷（系列7）18数学能力探测试卷（系列8）20数学能力探测试卷（系列9）26数学能力探测试卷（系列10）28数学能力探测试卷（系列11）30数学能力探测试卷（系列12 ）A卷32数学能力探测试卷（系列12 ）B卷34数学能力探测试卷（系列13）35数学能力探测试卷（系列14）36数学能力探测试卷（系列15）37数学能力探测试卷（
4、系列16）401 中学生数学解题能力结构中学生数学解题能力由四大部分构成，这四大部分各自又包含若干小的方面，列举如下：1.1 对量与量（包括空间的量）之间的关系的感知能力（即信息收集）探索问题时仔细有条理，不受外界干扰；能发现题目所缺的条件；能发现题目不需要的条件；能找出题目的隐含条件；能发现题目中数量、图形的特点；不会不自觉地给题目增加实际上并不存在的约束条件；能发现隐藏在题目中的待求结论；能判定题目的结构并把外表不同而实质相同的题目划为一类（即能鉴别习题类型）；看到画在纸上的立体图形时，头脑中能出现该立体的影像；能摆脱过去解题经验的束缚；能尽量把空间问题转化为平面问题；能果断选择“从何处入
5、手”。1.2 用数学符号与字母进行思维的能力（即信息加工）能集中注意力于所要解决的问题，较少分心与烦躁；能让自己已有的知识发挥作用；不过分受以前解题模式的束缚；能把实际问题抽象成数学问题；能从具体数量的运算过渡到字母的运算；能随时发现自己推理过程中的错误（判断分量要恰当，考虑问题要周到，说理要严密）；能利用特例暂时代替一般情况来寻找解题途径；能利用一般情况暂时代替特例来寻找解题途径；在寻找解题途径的过程中，能不断捕捉新的信息，并据此调整自己的解题方向；在思维时，能缩短推理与运算的过程；能利用创造性的思维方法来获得较有特色的解法。1.3 对数学关系、特征、原则和方法的记忆能力（即信息储存）能记住
6、易混淆概念的不同之处；能记住重点知识之间的内在联系；能记住自己过去解题时的易错之处；能记住数学解题思想与方法。1.4 逻辑表达能力（即信息输出）能掌握书面数学语言（文字语言、式子语言、图形语言）；表达顺序必须符合逻辑；不犯计算错误；2 中学生数学解题能力探测与评价共16个系列。系列1测验目的：你是孤立地看题目中那些单个的事实，还是合乎规律地把题目看作是许多相互联系的数量的综合？测验题：下列每个题目中，要你求的是什么东西？（题目详见试卷）操作方法：发卷后嘱咐学生做完马上交卷，待三分之一的学生交卷后即全部收卷。评价：全对者：能发现隐藏在题目中的问题。有错者：要发现隐藏在题目中的问题有困难。全错者：
7、不能发现隐藏在题目中的问题。系列2测验目的：你是否能看出解题必须具备的数量关系，并注意到缺少的信息？测验题：要解出下列问题，是否缺少什么条件？如果你认为确实缺少，请你把缺少的条件写出来。（题目详见试卷）评价：全对者：能发现题目所缺少的信息。有错者：要发现题目所缺少的信息有困难。全错者：不能发现题目所缺少的信息。系列3测验目的：你是否能辨别解题所需要的数量之间的关系，以及能否去掉不必要的条件？测验题：下列每个问题中有没有多余的条件，如果有，请你把多余的条件的代号写出来。（题目详见试卷）评价：全对者：能发现题目所多余的信息。有错者：要发现题目所多余的信息有困难。全错者：不能发现题目所多余的信息。系
8、列1-系列3的综合评价1能力强的学生的反应能迅速撇开题目的具体数值，认出问题的类型（这就决定了其后总的解题方向），对同一类问题中的具体问题进行分析（这就决定了其后的解题方法），并能从许多数量中找出那些解题所必需的数量（从这个题目的数量中感知到它们内在的联系以及由它们构成的一个整体）。换句话说，就是能力强的学生能根据题目的条件，最大限度地主动地抽出对于解答题目有用的信息。2能力差的学生的反应只能孤立地看待题目中的数量，看不出它们之间的内在联系，更看不出有它们所构成的一个整体，当然也就看不出或很难看出问题的类型。建议：在每天的数学作业题中选一道题，最好选自己感到有难度的题，把题目的已知条件和待求的
9、结论写到纸上。系列4测验目的：你在分析一道题后是否能弄请题目的结构？测验题：请你先看下面这道题，然后编一道同类型的题，要求尽量做到题材以及题中的数字都和原题不一样。（题目详见试卷）评价：所编题目的题材以及题中的数字都和原题不一样：对于题目结构的反应相当敏感。所编题目只有数量的变化，题材无变化或只是机械地换一下：对于题目结构的反应不敏感。说明：高中不做本系列。该系列功能类似于系列5和系列6。系列5测验目的：你能看出这个问题是属于你过去所学过的某一类的问题吗？测验题：请你计算（C+D+E）（E+C+D）=？如果做不出来，则请阅读下面的提示1之后再做；如果还做不出来，则请阅读下面的提示2之后再做；以
10、此类推，直到做出来为止。请纪录你看了第几个提示就做出来了 。（题目详见试卷）评价：全对者：能正确自如地解出结果。有错者：不会利用公式，而是一项一项地去乘开，或者只能从第1题解到第4题。不能举一反三，利用过去掌握的方法来解表面虽然不同但实质是一样的问题。说明：初一和高中不做本系列。操作很麻烦，需由教师逐步给出提示，并纪录给到第几步提示时，学生就解出了结果或做不下去。本系列题用于中等水平的学生。系列6测验目的：你能把这些问题分好类吗？测验题：请你把下面A组题目中属于同类型的题目的题号写出来，并说明你为什么要这样分类。实在分不出来时，可以先解题后分类。然后把B、C组的题目都照这样做。（题目详见试卷）
11、评价：A组B组C组划分正确不需要解题，就能看出哪些问题是类似的。如果要它们解题，只要解出了一道题，那么属于这一类的其它题就能毫无困难地解出来。把5题划为一类误把外表相同而实质不同的题划为一类。把4题划为一类误把外表相同而实质不同的题划为一类。把2题划为一类误把外表相同而实质不同的题划为一类。说明：初一和高中不做本系列观察学生是否要借助纸笔（解题）才能做出分类，并作好纪录。系列4-系列6的综合评价全对者：能看出哪些问题是类似的。有错者：要看出哪些问题是类似的还存在一点困难。系列7测验目的：你能迅速地从具体数量的运算过渡到字母的运算吗？测验题：请你先做下面第1大题中的两个小题，如果不能解决，则请改
12、做第2大题中的两个小题，如果仍然不能解决，则请改做第3大题中的两个小题。评价：能做出高难题：能从具体数量的运算过渡到字母的运算。能做出中难题：对较复杂的题，不能从具体数量的运算过渡到字母的运算。能做出低难题：对中等复杂的题，不能从具体数量的运算过渡到字母的运算。做不出低难题：对容易的题，都不能从具体数量的运算过渡到字母的运算。说明：高中不做本系列。系列8测验目的：你能把学过的推理方法一般化或是把论证原理迁移到解其它类似但更难的题目上去吗？测验题：请你先解第1题，再解第7题，如果第7题做不出来，则请先做第2题然后再试做第7题，如果仍然做不出来，则请先做第3题然后再试做第7题，这样一直把第6题做后
13、再看能否做出第7题。（题目详见试卷）评价：能力强的学生：能毫无困难地解决第一题，并能把证明方法迁移到这个测验内的其它题上去。能力差的学生：不能把证明方法迁移到这个测验内的其它题上去，但是从第一题到最后一题一步一步地做还是可以做出来。说明：初一和高中不做本系列。本系列能笔试，但是很麻烦。本测试要在学生学习本测试试题所设计的相关内容之前进行。系列9测验目的：你有使用你已掌握的技能的习惯吗？你已掌握的技能的迁移范围有多大？测验题：请你先做第12题（只要列出方程，不必解出结果），如果做不出，则做第11题，如果还做不出，则做第10题，就这样依次从第12题考虑到第1题。中间只要能做出任何一题即可停下来。（
14、题目详见试卷）评价：做不出第9、10 题：不能把已掌握的技能运用到很难的问题上去。做不出第4、5、6、7、8 题：不能把已掌握的技能运用到一般难度的问题上去。做不出第1、2、3 题：遇到很容易的问题时，也不能运用已掌握的技能。说明：初一和高中不做本系列。在学生学习相应知识之前给他们做。能笔试。系列7、8、9的综合评价1能力强的学生的反应三分之二的人不用帮助，不用进行特别学习，就能轻而易举的进行正确抽象。三分之一的人需要做一些练习，无大错；只要稍加提示，就能准确地进行抽象。2能力差的学生的反应三分之二以上的人反复练习后也不能进行抽象，三分之一的人反复练习和提示后能进行抽象，但是有少许错误。系列10测验目的：你能从不同的角度来看几何图形中的元素，从背景中区分出所需的图形吗？测验题：请你根据下面给出的范例来解答后面的问题。（题目详见试卷）评价：全对者：能毫无困难地解决问题。有错者：全错者：说明：高中不做本系列。系列11测验目的：你能找出解题的最优方案吗？ 测验题：请你用你认为是最简单的解法解下列各题。（题目详见试卷）评价：能找出三题的最简解法：能顺利地找出解题的最优方案。能找出一题或两题的最简解法：要找出解题的最优方案有一定困难
