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1、第五章 图形的认识 特殊的平行四边形 几种特殊四边形的性质 边角对角线 平行 四边形 对边平行且 相等 对角 相等 两条对角线 互相平分 矩形 对边平行 且相等 四个角都是 直角 两条对角线 互相平分且相等 菱形 对边平行 四 边都 相等 对角相等 两条对角线互相 垂直平分 并且每一条对角线 平分 一组对角 续表 边角对角线 正方形 对边平行 四 边都 相等 四个角都是 直角 两条对角线 互相垂直平分 且 相等 每条对角 线平分一组对角 几种特殊四边形的常用判定方法 注 两组对边分别平行或两组对边分别相等或一组对边平行 且相等或对角线互相平分或两组对角分别相等 有一个角是 直角或对角线相等 一
2、组邻边相等或对角线互相垂直或每一 条对角线平分一组对角 有一个角是直角或对角线相等 一组邻边相等或对角线互相垂直 有三个角是直角 四 边相等或对角线互相垂直平分 方法一 特殊平行四边形性质的应用 矩形的性质是求线段的长度 角度等问题常用的知识 可 以用来验证两条线段是否相等 两条直线是否平行 两角是否 相等 由于菱形的对角线互相垂直平分 因此涉及菱形的问题 大多会在直角三角形中解决 要抓住这一有利条件 正方形具有矩形和菱形的所有性质 应用时注意灵活 选择 例 如图所示 过正方形 的对角线 上一点 作 于 作 于 连接 试说明 猜想 与 有怎样的位置关系 并说明理由 解析 证明 连接 四边形 是
3、正方形 垂直平分 又 四边形 是矩形 猜想 理由如下 延长 交 于 四边形 为矩形 由题意知 又 易证 即 变式训练 在平面直角坐标系 中 为正方形 点 的坐标为 将一个最短边长大于 的直角三角形纸片 的直角顶点放在对角线 上 如图 当三角形纸片的直角顶点与点 重合 一条直角 边落在直线 上时 这个三角形纸片与正方形 重叠部分 即阴影部分 的面积为 若三角形纸片的直角顶点不与点 重合 且两条直 角边与正方形相邻两边相交 当这个三角形纸片与正方形 重叠部分的面积是正方形面积的一半时 试确定三角形纸片直 角顶点的坐标 不要求写出求解过程 并画出此时的图形 年中考 年模拟 解析 直角顶点的坐标为 或
4、 此时的图形如下图 方法二 特殊平行四边形判定的应用 在判定矩形 菱形或正方形时 要弄清是在 四边形 还是在 平行四边形 的基础之上来求证的 要熟悉各判定定理的联系 和区别 解答此类问题时要认真审题 通过对已知条件的分析 综 合 最后确定用哪一种判定方法是解决这类问题的关键 例 贵州贵阳 分 如图 在 中 点 分别是 的中点 连接 并延长至点 使 连接 证明 当 时 试判断四边形 的形状并说明理由 解析 证明 在 中 点 分别是 的 中点 是 的中位线 四边形 是平行四边形 分 当 时 四边形 为菱形 理由 在 中 为等边三角形 又 四边形 为平行四边形 四边形 为菱形 分 变式训练 如图 在正方形 中 点 分别为边 的中点 相交于点 则可得结论 不需要证明 如图 若点 不是正方形 的边 的中 点 但满足 则上面的结论 是否仍然成立 请直 接回答 成立 或 不成立 如图 若点 分别在正方形 的边 的延长 线和 的延长线上 且 此时上面的结论 是否仍 然成立 若成立 请写出证明过程 若不成立 请说明理由 如图 在 的基础上 连接 和 若点 分别为 的中点 请判断四边形 是 矩 形 菱形 正方形 中的哪一种 并写出证明过程 解析 成立 成立 证明 四边形 是正方形 又 又 正方形 证明 同理 四边形 是平行四边形 又 平行四边形 是菱形 又 菱形 是正方形
