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1、第五章 圆 与圆有关的计算 考点清单 考点一 弧长和扇形的面积 由圆的周长公式 可以推得弧长的计算公式 为圆的半径 是弧所对的圆心角的度数 为扇 形的弧长 由圆的面积公式 可以推得扇形面积公式 扇形 扇形 为圆的半径 是弧所对的圆心角的 度数 为扇形的弧长 考点二 圆柱和圆锥 圆柱的侧面积 圆柱的侧面展开图 圆柱的侧面展开图为矩形 圆柱的侧面积 如果圆柱的高为 底面圆半径为 则 侧面 圆锥的侧面积 全面积的计算 圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图是以圆锥母线长 为半径 圆锥底面圆的周长为弧长的扇形 圆锥的侧面积 圆锥的侧面积是指它的侧面展开图的 面积 易混清单 与圆有关的计算中各要素的区分 与
2、圆有关的计算常见的有弧长和扇形面积的计算 应用时 要对圆心角 半径等要素加以辨别 并理解公式 扇形 为 扇形的弧长 为圆的半径 熟练应用公式计算 在旋转问题中 求动点的轨迹时 要注意圆心和半径的变化 若区分不清 则容 易出错 例 湖南邵阳 分 如图 在矩形 中 已 知 矩形在直线 上绕其右下角的顶点 向右旋转 至图 位置 再绕右下角的顶点继续向右旋转 至图 位 置 依此类推 这样连续旋转 次后 顶点 在整个旋 转过程中所经过的路程之和是 思路分析 确定旋转时顶点 的路径 分别是以矩形的 不同顶点为圆心 以矩形的边长或对角线长为半径的弧长 求出 每一次转动的路线长 每 次为一个循环 根据规律计算
3、即可 解析 转动第一次的路线长是 转动第二次的 路线长是 转动第三次的路线长是 转动 第四次的路线长是 转动第五次的路线长是 依此 类推 四次为一个循环周期 因为顶点 转动四次经过的路线长 为 所以顶点 转动 次经过的路线长为 故选 答案 圆柱与圆锥的比较 与圆柱和圆锥有关的计算常常与弧长和扇形有关 几何体 中的量较多 易混淆 圆柱与圆锥的比较如下表 名称圆柱圆锥 图形 图形 的组成 两个底面和一个侧 面 两底面是等圆 侧面是曲面 一个底面圆和一个侧面 侧面 是可展开的曲面 图形的 形成过程 由一个矩形旋转得 到 上 图 是 由 矩 形 绕直线 旋 转一周得到的 由一个直角三角形旋转得到 上图
4、是由 绕直线 旋转一周得到的 侧面展开 图的特征 及计算方法 侧面展开图为矩形 侧面 矩形 表面 侧面展开图为扇形 扇形弧长 侧面 扇形 表面 例 四川资阳 分 如图 透明的圆柱形容器 容器厚度忽略不计 的高为 底面周长为 在窗口 内壁离容器底部 的点 处有一饭粒 此时一只蚂蚁正好在 容器外壁 且离容器上沿 的点 处 则蚂蚁吃到饭粒需爬 行的最短路径是 年中考 年模拟 思路分析 将容器侧面展开 作 关于 的对称点 根据两点之间 线段最短可知 的长度即为所求的最短路径 解析 圆柱的侧面展开图如图所示 作 关于 的对称 点 连接 与 交于点 连接 则 就是最短 路径 过 作 交 的延长线于点 由题
5、意知 所 以 在 中 所以 故选 答案 方法一 扇形面积的计算 在计算不规则图形的面积时 常常把不规则图形的面积转 化成规则图形的面积的和或差 常采用以下几种方法进行求解 割补法 拼凑法 等积变形法 覆盖法 迁移变换法 例 广西桂林 分 如 图 在 中 将 绕点 顺时针旋转 后得 将线段 绕点 逆时 针旋转 后得线段 分别以 为圆 心 长为半径画弧 和弧 连 接 则图中阴影部分的面积是 解析 如图 作 于 由旋转的性质可知 易证 阴影 扇形 扇形 故选 答案 变式训练 山东潍坊 分 如图 在 中 以直角边 为直径作 交 于点 则图中阴影部分的面积是 答案 解析 即 连接 为 的直径 扇形 阴影
6、 故选 方法二 圆锥的相关计算 圆锥的相关计算要掌握圆锥的特征 知道圆锥的高 母线的 概念 圆锥的轴截面是等腰三角形 圆锥的侧面展开图是扇形 这个扇形的半径是圆锥的母线长 弧长是圆锥底面圆的周长 例 泉州 分 如图 有一直径是 米的圆形 铁皮 现从中剪出一个圆周角是 的最大扇形 则 第五章 圆 的长为 米 用该扇形铁皮围成一个圆锥 所得圆锥的底面圆的半径 为 米 解析 如图 为 的直径 即 设所得圆锥的底面圆的半径为 米 根据题意得 解得 答案 变式训练 黑龙江齐齐哈尔 分 一个侧面积 为 的圆锥 其主视图为等腰直角三角形 则这个圆锥 的高为 答案 解析 设这个圆锥的底面圆半径为 因为圆锥的主视图 为等腰直角三角形 则母线长 侧面 圆锥的高
