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1、第二章 方程与不等式9 2 2 分式方程 33 考点一 分式方程及其解法 1 分母 中含有未知数的方程叫做分式方程 2 解分式方程的基本思想 利用换元法或通过去分母将分 式方程化为 整式方程 3 一般地 解分式方程时 去分母后所得整式方程的解有可 能使原方程的分母为 0 因此应将整式方程的根代入原方程的 最简公分母 进行计算 若最简公分母不为 0 则整式方程的 根就是分式方程的根 否则 这个根就不是原方程的根 是增根 4 由增根求参数的值 1 将原方程化为整式方程 2 将增根代入变形后的整式方程 求出参数的值 考点二 分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤 1 审题 2 设未知数 3 找
2、等量关系 4 列方程 5 解方程 6 检验 7 作答 与整式方程不同的是求得方程的解后 要进行两次检验 检 验所求的解是否是所列分式方程的解 检验所求的解是否符合 实际意义 33 方法一 分式方程的解法 去分母时 要准确找出分式方程中各分式的最简公分母 求 出整式方程的根后 要注意验根 例 1 2015 深圳 18 6 分 解方程 x 2x 3 5 3 2x 4 解析 方程两边同乘 2x 3 得 x 5 4 2x 3 2 分 x 1 4 分 经检验 x 1 是原方程的根 6 分 变式训练 2014 广西南宁 20 6 分 解方程 x x 2 2 x2 4 1 解析 x x 2 2 x2 4 1
3、 x x 2 2 x 2 x 2 1 1 分 x x 2 2 x 2 x 2 2 分 x2 2x 2 x2 4 3 分 2x 2 4 分 x 1 5 分 检验 当 x 1 时 x 2 x 2 0 x 1 是原分式方程的解 6 分 方法二 用分式方程解应用题 用分式方程解决实际问题时 要认真审题 恰当设未知数 准确找出题中的等量关系 在解题过程中 要注意检验 所求根 既要满足方程 又要满足题意 例 2 2014 梅州 20 8 分 某校为美化校园 计划对面积 为 1 800 m2的区域进行绿化 安排甲 乙两个工程队完成 已知 甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 2 倍 并且在独
4、立完成面积为 400 m2区域的绿化时 甲队比乙队少 用 4 天 1 求甲 乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多 少 m2 2 若学校每天需付给甲队的绿化费用为 0 4 万元 乙队为 0 25 万元 要使这次的绿化总费用不超过 8 万元 至少应安排甲 队工作多少天 解析 1 设乙队每天能完成绿化的面积为 x m2 则甲队每天能完成绿化的面积为 2x m2 根据题意得400 x 400 2x 4 x 50 经检验 x 50 是原方程的根 2x 100 答 甲工程队每天能完成绿化的面积为 100 m2 乙工程队每 天能完成绿化的面积为 50 m2 2 设安排甲工作 m 天 乙工作 n 天 则 0
5、 4m 0 25n 8 100m 50n 1 800 由 得 n 36 2m 将 代入 得 0 4m 0 25 36 2m 8 m 10 答 至少应安排甲队工作 10 天 变式训练 2016 黑龙江哈尔滨 25 10 分 早晨 小明步 行到离家 900 米的学校去上学 到学校时发现眼镜忘在家中 于 是他立即按原路步行回家 拿到眼镜后立即按原路骑自行车返 回学校 已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从 家到学校所用的时间多 10 分钟 小明骑自行车速度是步行速度 的 3 倍 1 求小明步行速度 单位 米 分 是多少 2 下午放学后 小明骑自行车回到家 然后步行去图书馆 如果小明骑自行车和步行的速度不变 小明步行从家到图书馆 的时间不超过骑自行车从学校到家时间的 2 倍 那么小明家与 图书馆之间的路程最多是多少米 解析 1 设小明步行的速度为 x 米 分 根据题意 得900 x 900 3x 10 2 分 解得 x 60 3 分 经检验 x 60 是原方程的解 4 分 小明步行速度为 60 米 分 5 分 2 设小明家与图书馆之间的路程为 a 米 根据题意 得 a 60 900 3 60 2 8 分 解得 a 600 9 分 小明家与图书馆之间的路程最多是 600 米 10 分
