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1、第十四届“少文杯”数学邀请赛暨第二十届“华杯赛”成都赛区热身赛五年级试卷一、填空题(每小题10分，共80分)1. 算式109876123452的计算结果化成小数后的整数部分是_。考点：分数计算分析：观察整个算式，将分子改写为乘法形式后，分子和分母可以约分。解:原式=1098761234512345=2110=2.1所以整数部分为22. 如图1，俯视某花园可以分为A、B、C、D、E五个部分，现在园林设计师打算最多用五种不同的植物装饰花园，要求每一部分只能用一种植物，并且相邻部分不能使用相同的植物，不相邻的部分可以使用相同的植物，那么按照以上要求，此花园共有_种设计方案。考点：加乘原理分析：观察图
2、形，A是最特殊的，因为它和四个都相邻。那么首先先满足A，又知道C、E和B、D是相对的，那么C、E的颜色可以相同，B、D也可以相同。所以这里要分类。解：第一类：C、E颜色相同。先种A有5中选择，然后种E(E不能和A相同)有4种选择，(C和E相同，C就不用在选了)，再种B(B不能与ACE相同，CE是一种颜色)还有3种选择，最后种D也有3种选择，这里包含了BD相同和不相同的情况。共5433=180种。第二类：C、E颜色不相同。先种A有5中选择，然后种E(E不能和A相同)有4种选择，C和E不相同，C就有3种选择，再种B，B不能和ACE一样，那么只有2种选择，最后种D也有2种选择。这里包含了BD相同和不
3、相同的情况。共54322=240最后两类加起来：240+180=420种。3. 某工程现场有五袋货物，分别重56kg、104kg、60kg、88kg、128kg，已知其中有两袋水泥、两袋黄沙和一袋石子，并且两袋黄沙的重量之和是两袋水泥的重量之和的一半，那么一袋石子的重量与两袋黄沙的重量之差是千克。考点：数的整除分析：这里要求一袋石子的重量与两袋黄沙的重量之差，只要找出它们分别有多重就可以了。题中只有一个条件：两袋黄沙的重量之和是两袋水泥的重量之和的一半，即：两袋水泥的重量之和是两袋的黄沙重量之和的两倍。那么它们的总和就是黄沙重量之和的3倍。说明它们的总和能倍3整除。解：56+104+60+88
4、+128=436436除以3余1。因为88除以3也余1，那么这一袋就是石子。那么黄沙重量为：(436-88)3=116，即56千克和60千克。一袋石子的重量与两袋黄沙的重量之差为：116-88=28千克。4. 如果要写出1到2014的所有自然数，那么数字1出现的次数比数字2出现的次数多_次。考点：数码问题分析：这里需要用到一个抵消思想，比如1-9里面，1和2的个数相同，那么这样的一组1和2的个数就抵消了。解：1-9里而1和2的个数相同。10-19，与20-29，1和2的个数也相同。100-199，与200-299，1和2的个数也相同。得出规律：整百、整十里面1利2的个数都相等。那么1000-1
5、999里而，1的个数比2的个数就多1000次(都是千位上的1)。2000-2014，2的个数比1的个数多10个。那么1的个数总共比2的个数多990个。5. 己知点A是长方形EBCD外部的一点，AE=AB，长方形EBCD的面积为100平方厘米，那么三角形ABC的面积是_平方厘米。考点：直线型几何分析：根据题目可知ABE是等腰三角形，那么过A作BE的垂线，对称性垂足一定是BE的中点，且垂线平行于BC，我们可以将ABC的A点在垂线上滑动，其面积亦不会变，因此可将A点滑动到如下图的位置，易得出ABC的面积为长方形的14。解：过A做EB的垂线，将A移到垂线与CD的交点处。SABC=14长方形面积= 14
6、100=25平方厘米6. 国庆节到了，“淘宝网”上的服装店小老板推出优惠活动，上午就卖了8件衣服和16条裤子，共收入2400元。下午卖出了12件上衣和12件裤子，共收入2520元。那么，一件裤子比一件上衣便宜_元。考点：应用题分析：整体思想，平常生活中，我们都习惯把一件衣服和一条裤子看做一套衣服。这里也可以运用这样的思想。解：题中，8件衣服和16条裤子看做8套衣服+8条裤子。12件上衣和12件裤子看做12套衣服。即：8套衣服+8条裤子=2100元12套衣服=2520元一套衣服=252012=210元那么裤子的价格为：(2100-8210)8=90元衣服价格为：210-90=120元。所以裤子比
7、衣服便宜30元。7. 24698100的计算结果末尾有个连续的零。考点：因数与倍数分析：如果一个数末尾有一个零，则说明其一定是10的倍数，而10=25，归根结底必然含有因数2和5至少一个以上。解：易知数的末尾有一个零则一定含有因数2和5一组，含有两个零一定含有2和5两组说明零的个数取决于因数2和5的对数。从题干可知给的数全是偶数，故因数2的个数必大于50，而因数5却是相对不足，因而0的个数取决于因数5的个数。综上则有：1005=20个，10025=4个(两个算式说明100内，含有因数5的数有20个；其中含有两个因数5的有4个)202=10个，42=2个(20个5的倍数中奇数偶数各占一半；4个2
8、5的倍数中奇数偶数各占一半)综上一共10+2=12个零。8. M博士非常喜欢宠物，有一天他对别人说：“我的家里除了两只以外所有宠物都是狗，除了两只以外所有宠物都是猫，除了两只以外所有宠物都是鸟。”那么M博士家里有_只宠物。考点：逻辑推理分析：除两只以外，所有宠物都是狗，即说明其它宠物有两只。解：易知M博士有三种宠物，分别是狗，猫，鸟；他的第一句话说明猫和鸟一共两只，显然各占一只；同理可得狗也只有一条。综上，共3只宠物。二、解答下列各题(每小题10分，共40分，要求写出简要过程)9. 运动员练习长跑，计划从A地跑到B地，再从B地按照原路返回A地，由于体力的下降，平均每小时比前一个小时少跑1千米，
9、己知去时用了4小时，返回时用了5小时，那么AB两地相距多少千米？考点：行程问题分析：这道题虽然是行程问题，但是其实是一个等差数列的变例。解：设运动员初始速度为x。那么前四个小时的速度为：x，x-1，x-2，x-3后五个小时为：x-4，x-5，x-6，x-7，x-8由于来回的路程是一样的，可以列出方程：x+(x-1)+(x-2)+(x-3)=(x-4)+(x-5)+(x-6)+(x-7)+(x-8)整理得：4x-6=5x-30解得：x=24总路程为：424-6=96千米。10. 如图3，在正方形上画一条直线，可以将正方形分成两部分，那么画三条不重合的直线，最少可以把正方形分成几部分？画四条不重合
10、的直线最多可以把正方形成几部分？考点：图形的分割。分析：如果没有一条直线，那么平面就可以看作1个部分；如果有1条直线，那么平面就被分成2个部分；如果有2条直线，又可分为两种情况：第2条直线与第1条直线不相交，可分平面3部分，第2条直线与第1条直线相交，可分平面4部分，同理，3条直线最多可分平面7部分，4条直线最多可分平面11部分，再把这几个数分解，发现1=1，2=1+1，4=1+1+2，7=1+1+2+3，11=1+1+2+3+4。由此我们可得到直线分平面公式：n条直线最多能把平而分成1+1+2+3+n个部分，即最多能把平而分成nn+1+22个部分。解：结果如下图：所以：最少为4部分，最多为1
11、1部分。11. 数学课堂上，老师请上了小文和小胖两名同学参加一场数学游戏，老师在黑板上写出了2，3，4，98，99，100，然后擦去这99个自然数中的一个，接下来由小文、小胖两人轮流擦去一个自然数，即小文先擦去其中一个自然数，然后小胖再擦去剩下自然数数中的另一个数，如此进行下去，若最后黑板上剩下的两个数互质，那么小胖胜，否则，小文胜。问：(1)如果老师第一个擦去的是100，那么两名同学谁有必胜策略，必胜策略是什么？(2)如果老师第一个擦去的是99，那么两名同学谁有必胜策略，必胜策略是什么？考点：质数与合数，游戏与对策分析：如何下手，找到解决问题的方向是这个题最大难点，如果小胖想全部留下100以
12、内的25质数中的某两个，必胜。但25个质数数远不及99个数中的一半，因此这必定做不到。若能想到，相邻的两数必然互质，偶数间必不互质该题便可迎刃而解。解：因为相邻的两数必然互质，小文必然不想留下的相邻的两个数，所以她的最佳策略是挑奇数跳着来擦；小胖知道，他是后手，占有劣势，如果留下的是两个偶数，他必输，因而他的最佳策略是擦掉小文擦掉的奇数前面的郡个偶数，如此才会有一线胜机。(1)老师擦掉100，剩下的98个数，奇数偶数各占48个，小文会不断擦掉奇数，小胖会不断擦掉奇数前面的偶数。如此这样擦到第46次(他们两人各划擦一个数称为一次)，此时剩下4个数，两个奇数，两个偶数，而且一定存在一个奇数与另一个
13、偶数相邻(相邻的奇数和偶数可以看做一组)，最后一次，小文会擦掉其中一组的奇数，小胖会擦掉该组剩下的偶数。则剩下的两个数必是一个奇数和一个偶数且相邻。综上，小胖拥有强胜策略。(2)老师划掉99(其它奇数也一样)，剩下的98个数，奇数47个，偶数49个。当他们都按照自己的必胜策略操作，擦到第46次，此时剩下一个奇数，三个偶数，小文只需将奇数划掉便可胜。综上，小文拥有必胜策略。12. 在“33”的方格中，每个方格内填上一个数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和均相等，如图6，己填好的两个数为97和17，试求出a所代表的数。9717a图6考点：数阵图与幻方分析：根据三阶幻方公式“两相邻边之
14、和为不相邻角的两倍”可得，17+a=972解：a=972-17=177三、 解答下列各题(每小题各15分，共30分，要求写出详细解答过程)13. 将1到60的所有自然数任意分成12组，每一组5个数，如果将每一组的5个数从小到大排列，处于中间的数称为“少文数”，例如(11，12，13，14，15)中，那么13为“少文数”，对于每一种分法都会产生12个“少文数”，那么12个“少文数”的和最小是多少？请给出一种和最小时的分组情况。考点：构造与论证，最值问题分析：要使12个“少文数”和最小，就应使“少文数”尽量小，也就是每组中第三个数尽量小。很显然每组中第三个数并非最小的数，而是第三小，那就意味着需要
15、让每组前三个数尽量小。解：欲使12个“少文数”之和最小，需使每个“少文数”尽量小，因此也就需要使每组前三个数越小越好。一个分为12组，每组前三个尽量小，因此需要是123=36个数尽量小，则须在1到60个数中选择136的前36个数。将这36个数放入12组，每组放三个。第一组，“少文数”最小只能是3，前两个为1,2；第二组，“少文数”只能是剩下的33个数中的6，前两个为4,5；第十二组，“少文数”为36，前两个为34,35。接下来可以将剩下的数随机的放入每组的后两个数即可，因为剩下的数肯定会比前面的数大，不会影响“少文数”。下面即为一种“少文数”和最小的分法(不唯一)：1，2，3，37，384，5，6，39，407，8，9，41，4231，32，33，57，5834，35，36，59，60可以发现“少文数”都是3的倍数，因此“少文数”和为：3+6+9+33+36=23414. 如图7，三角形ABC绕顶点A逆时针旋转了40得到了三角形AED，1=40，E点刚好在BC上，请求出ACD与DEC的度数差。考点：
