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1、 0 得 0 1 6当且仅当扛 8时取 等 号 得 一 2 当 且 仅 当 T Y 取 等 号 师 消元 法是处理二元最值 问题的最基本方 法 它是指通过消去变量从而达到解题目的方法 通 过 消元 将 多元 转化为 一元 函数最值问题是 常规的解题策略 2 拓展 1 设正数 Y z满足 一 2 y 3 z o 则 的最小值为 生 2 由 一 2 y 3 z 0 得 Y x 3 z 则 姜 xT 2 6 xz 9 z2 1 詈 9 z 6 3 当 且 仅当 3 z 时取等号 师 O c 题的关键是由条件的一个等式通过 消 元 将三元问题转化为 二元 再将齐次式利用基 6 2 本不等式求解 拓展
2、2 设 x y 彳 R 且 y z 1 Y 3 则 x y z 的最大值为 师 仍然是 三元 问题 但是条件中多了一个 等式 所以问题可以转化为 几元 生 3 应该可以转化为 一元 由于三个元素的 关系是平等的 所以不妨转化为关于 z 的函数 由 z 1 得 Y 1 一 由 3 得 戈 y 3一 一 解得 x y z 一 z 一 1 所以x y z 一 一 可由导数知识求得最值 师 S k 整体消去x y 一直到得到 的函数这一步 思路清晰 请 再仔细 考虑一 下该 函数 的定义 域如 何呢 生 3 由 y 2 2 x y可得 3一 2 z 一 2 z 一2 解 得 一 l 记 z z 一 Z
3、 2 Z Z E 一 l 由 导 数 知 识 进而求得最小值为 消元是处理多元函数最值问题最基本的方法 遇到此类问题 如果 能够消元 就可 以化多为少 化 难为易 使问题得到解决 需要特别提醒的是 要重 视消元后保留元的范围 保留元的取值范围往往不 是任意的 有时需要从已知中挖掘隐含条件 师 问题1 的 三 型的分式结构还能想到用 什么方法解决吗 生 4 令 2 口 Y 1 b 贝 0 a b 4 且 且 南 口 一4 4 b一2 口 D 一 2 4 I n D 1 c 6 5 詈 I J 6 I J 数学之友 2 0 1 5 年第4期 5 2 4 a 9 当且仅当 2 b 即 下8 6 取等
4、号 7 m R g i 2 取 等 号 师 通过 换元 不仅分母变得简单 式子的结 构也变得简单 从而使隐含的基本不等式结构关系 显露出来 本题也可通过整体配凑的形式求解 如 一 4 4 y 一1 I 1 一 L 一 2 v 1 一2 一 一 南 一 2 4 南 x 2 y 1 拓展 3 设 口 o 6 0 c o 则 s 一 的最小值为 r 口 I 2b I c r 口 一 5 y 一3 z 生5 令 n b 2 c 则 b 一 2 y z 口 6 3 c c 一 y S 2 y x 4 x 8 y 4 z 一 8 z 8 y Y 等 等 一 7 2 一 7 当且仅当 堑且垒 时取等号 即
5、Y 1 2时取最小值 1 2 一1 7 由于所给分式表达式很复杂 特别是分母 可以 考虑对分母 换元 处理 使得分母变简单 同时便 于分离分式 拓展 4 已知函数 3 x 口与函数 g 3 x I 2 a 在 区 间 b c 上 都 有 零 点 则 的最小值为 一 生 6 由条件 得 3 6 口0 3 6 2 0 旦 璺 垒 一 竺 2 b 一 2 b c c 一 b c 师 原题是三元 问题 进行适当变形重组变量后 得到新 的三元分别是 口 2 b 2 c b c 观察一下 新兀 间有 什么 联系 吗 生6 b c 型 不妨换元一下 更简单明朗 令 口 2 b 口 2 c y b c 由 同
6、号不等式相加 n r 6 6 c b 3 3 a O b Y Y 一 c 一 一 一 一1 4 一 x y 当且仅当 一 Y时取等号 即 0 b c 0且 b b c 0 则 S 2 a 1 C t t 7 一l O a c 2 5 c 的最小值为 口 口 一 D J 一 生 7 S a 5 c 5 2 t 1 口 g 2 a b 令 a b 0 口 一0 6 O 则 2 1 了 1 2 2 4 当 且 仅 当 5 c 时 取 等 号 t x Y l 3 0 即口 6 等 c 等时S 取最小值4 利用不等式解最值 问题 每次放缩 带来 的 等 号 限制 一般都对应着一个等量关系 适度 的利用
7、不等关系进行有目的的放缩 引入了新的等量关系 根据方程思想 使得最终取等号时多元变量确定有 解 即可 师 对 于多元问题还可将多个变量中的某个看 作主要变量 将其他的变量看作参数 本题我们可以 考虑 口 b C 中的哪一个为 主元 便于研究最值 生8 先将 c 看作主元 令 c 2 5 c 一 1 o 口 c 2 口 1 即 c 2 5 c 一 号 1 6 3 数学之友 2 0 1 5 年第4期 则 c 詈 口 2 I 然后将 b看作主元 令 g 6 a 2 1 即 则 6 g 詈 4 再将 口 看作主元 令 h 口 口 由基本不 等式得h 口 1 4当且仅当口 时取等号 综上得 当且仅当 6
8、 2 c 时取最小值4 师 依次将各个变量当作 主元 实现了逐个 突破 这个方法叫做 主元 法 问题 3 已知 戈 Y R 且 Y 3 贝 0 e 一 e 一 的最小值为 生 9 e 一 e 一 一 2 2 y 一 2 e e x e 2 e h 令 e e 一 I 2 贝 4 记 Y 2 2 2 t y t 一 2 2 一 t2 2 3 当 2 6时 i Y 厂 3 1 8 6 t t 一2 t 一 3 7 17 当 t 6 时 号 t2 2 1 6 7 综上 f 3 3时取最小值 7 对于 e 一 e e 一 知 s i n 0 c o s O s i n O c o s O可以 利用换元
9、法转化为二次函数问题 本题转化为轴变区 间定的二次函数最值问题要注意对参数的分类讨沦 师 两个完全平方的和作为切入口又能想到什 生 1 0 还可以从式子 的 几何意 义人手 e 一y e 一一 y 表示 e e 与 y Y 两点距离的平方 其中 ex e x 在 曲 线 0 上 y Y 在射线Y 3 上 由图象可知最小值应该是 1 1 与 3 3 间距 离的平方 答案是 8 师 数形结合是很巧妙的数学思想方法 它是通 过数与形之间的对应和转化来解决问题 华罗庚说 6 4 过 数缺形时少直观 形少数 时难人微 然而这里 不是 1 1 点距离 3 3 点最近 所以在运用数形结 合思想方法解决数学问
10、题时 一方面我们可以借助 形 的生动和直观性认识 数 另一方面 我们还 需将图形问题转化为代数问题 借助于 数 的精 确 规范地阐明 形 的属性 以获得精确的结构 生 1 0 设 曲 线 y 0 上 一 点 t 则 t 3 一 3 2 6 9 一 9 令 t 1 M 2 则上式 一 6 u 1 6 一 3 7 7当且仅 当 u 3时取等号 即 t e Y 3 时取最小值7 代数问题几何化是解题中值得重视的技巧 解 题的关键是能够抓住式子 的几何意义 拓展 5 设正数 口 b c 满足 3 口 c 2 6 4 则 的取值范围是 师 已知的是三个变量之间的不等关系 且条件 和结论均是齐次形式 可
11、以考虑重组变量进行换元 从而实现 减元 将三元转化为 二元 的不 等式条 件 可以联想到类似的线性规划问题 生 1 1 不等式两边同除以b 得 3 詈 詈 2 4 詈 詈 且 丝 詈 1 詈 令 詈 詈 y 则 问 题 转 化 为 已 知 正 实 数 Y 满足约束条件3 2 4 求 的最值 先 作 出非 线 性 约束 条 件 f 3 y 2 1 对 应 的 平 面 区 域 y 0 如右图 目标函数 y 2 表示平面区域内的动点P x Y 与定点 Q 1 一 2 连 线的斜率 旋转直线 Q P不难发现 当直线 Q P与函 数 0 的图象相切时斜率最大 对应的 数 学之友 2 0 1 5年第 4期
12、 最 大 此 时 设 切 点 为 P 击 切 线 方 程 为 y 1 一 一 且切线过Q 1 一 2 解得 n t 或一 舍去 所 以 z 一4 当 P点为 A 12 时 斜 率 最 小 对 应 的 最 小 所 以 一 5 综上 的取值范围是 一 4 一 3 1 提炼 当最值问题的条件是关于多元的多个不 等式的时候 可以通过适当重组变量 减元后转化为 二元不等式组 先画出可行域 再利用 目标函数的几 何意义求解最值 比较 常见 的有距离 斜率 定斜率 直线的截距 2 教 学反思 2 1 教 学设计 的反 思 高三解题教学课的题 目通常是有难度的 教师应 通过合理的教学设计 结合学生的最近发展区
13、 提高学 生学习的时效陆 本专题精选了几种常用的处理策略 在编排上由人口宽 台阶低的题 目开始 题与题之间在 解题方法上有着紧密的联系 符合学生的认知发展规 律 能有效激发学生探究欲望 进而锻炼和提升学生的 思维能力 问题 1 有两种解题策略 让学生体验当遇到 多元问题条件等式较多时 应从方程角度人手进行合 理的消元 并考虑保 留元 的范围 二是 换元 拓展 3 是加强学生对复杂分式分母换元意识 拓展 4是对于 重组变量后的新元利用换元使其关系更 明朗 便于进 一 步减元 问题 2是在常规解法 1的基础上首次指导 学生运用 主元 法 问题3的解法 1 是对新方法 参数 的分类讨论意识的加强 解
14、法2 则过渡到 几何 法 强 化数形结合思想 拓展5 是不等式组条件下重组变量 换元 几何法的综合应用 2 2教学过程的反思 1 在审题功力上要引导学生 明辨 细推 进行 优化组合 科学确立解题策略 解题的首要任务就是 审题 波利亚在 怎样解题 一书中把 弄清问题 作 为数学解题全过程的第一阶段 弄清问题就是审题 审题功力除了受学生的知识水平 思维发散能力影 响外 还取决于教师平时是否注重引导和训练学生 在解题过程中 其实各类解题方法在题设条件中都 有暗示 比如条件是等式的 可以 消元 消元又可 以消为几元 条件是不等式组 的 可以从线性规划角 度人手 借助 几何 法突破 条件是齐次分式的 可
15、 以重组 变量进一 步 换 元 等等 如果学生仔 细推 敲 也可以掌握这些解题策略 所以在数学解题过程 中不仅要弄清题设条件的个数 包括显性和隐性 的 还要注重对题目的相关信息进行仔细推敲 挖掘 辨 认和转化 最后对取得的信息筛选 重组 优化 以确 立最有效的解题策略 2 在解题思路上要加 强方法 和策 略的研究 注重提炼 灵活运用数学思想 高中数学中主要的数 学思想方法有化归与转化 分类讨论 函数与方程 数形结合 本专题的问题求解中都有涉及 学生之所 以在解题时遇到困难 关键是解题时数学思想方法 掌握和运用不够熟练 如果学生掌握 了一定 的数学 思想方法就可 以增加数学解题 的进度和准确度
16、可 以说数学思想是 帮助 学生构建解题 思路 的指导思 想 所 以在帮助学生构建解题思路的这个重要环节 上 教师要及时 经常地向学生渗透一些基本的数学 思想方法 进而提高学生的元认知水平 加强数学思 想方法 的渗透要求教师掌握正确 的教学模式 及 时 更新 自身的观念 长时间的培养提高学生获得更多 的分析 问题 以及解决 问题 的能力 总之 数学思想方 法是一种渗透 也是一种循序渐进的过程 在解题教 学过程 中 不仅要加强解题方法 解题 策略的研究 还要注重对数学思想方法 的渗透 提炼和运用 3 在解题反思上要注重学生创新思维 的培养 和认知系统的形成 充分提高学生的解题效率 波利 亚则在 怎样解题 中把 回顾 作为了数学解题的四 个重要阶段之一 他在书中还指出 一个好的教师会 传授给学生下述看法 没有任何问题可以解决得十全 十美 总剩下些工作要做 经过充分的探讨与钻研 我 们能够改进这个解答 并且在任何情况下 我们总能 提高自己对这个解答的理解水平 同时 问题的拓展 也应该成为解题反思中的一个不可或缺的环节 它不 仅可以提高学生的应试水平 还可以帮助学生深化理 解问题 揭示问题的本质
