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1、 吉林市普通中学高中毕业班第三次调研测试理科 数学一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。1. 若集合，且，则集合可以是A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合选项满足要求故选A.2. 已知复数（为虚数单位）给出下列命题：；的虚部 为. 其中正确命题的个数是A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】复数，的虚部为，则正确，错误.故选C.3. 若且，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】且故选B.4. 已知等差数列的公差不为，且成等比数列，设的前项和为 ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】设等差数列的公差为成
2、等比数列，即，解得选A5. 若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是A. B. C. D. 【答案】D【解析】的展开式中只有第项的二项式系数最大为偶数，展开式共有项，则.的展开式的通项公式为，令，即.展开式中含项的系数是故选D.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.6. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】模拟程序框图的运行，可得程序框图的功能
3、是计算出的值.输出的值为故选D.7. A. B. C. D. 【答案】A【解析】.故选A.8. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是 , 绘制该四面体三视图时,按照如图所示的方向画正视图,则得到左视图可以为A. B. C. D. 【答案】B【解析】满足条件的四面体如右图：依题意投影到平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如右图.故选B.9. 设曲线上任一点处切线斜率为，则函数 的部分图象可以为A. B. C. D. 【答案】C【解析】上任一点处切线斜率为函数，则该函数为奇函数，且当时，.故选D.点睛：（1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性
4、质本身的含义及其应用方向；（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系.10. 平行四边形中， 点在边上，则的最大值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】平行四边形中，点在边上，以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立坐标系，,设,则，设，因为 ，所以当时有最大值，故答案为.11. 等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值与最小值的比值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】等比数
5、列的首项为，公比为.当为奇数时，随着的增大而减小，则，故；当为偶数时，随着的增大而增大，则，故.的最大值与最小值的比值为故选B.点睛：本题考查了等比数列的求和公式，解答本题的关键要注意对分奇数与偶数讨论，确定数列的增减，从而表示出的取值范围，进而可以得解.12. 已知函数（是以为底的自然对数，），若存 在实数，满足，则的取值范围为A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意，作出函数的图象如图所示：存在实数，满足根据函数图象可得，.，即.令，则.当时，即在上为减函数；当时，即在上为增函数.的取值范围为故选C.点睛：本题考查函数的单调性及导数的综合应用，解答本题的关键是根据，推出，构造新函
6、数，注意自变量的取值范围，根据导数研究函数的单调性，从而得出函数的值域，即的取值范围.二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。13. 设满足约束条件, 则的最大值为_.【答案】8【解析】作可行域，则直线过点B(5,2)时取最大值8.14. 聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： 则按照以上规律，若具有 “穿墙术”，则_.【答案】63【解析】，按照以上规律，可得.故答案为.15. 某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位:分)服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，
7、记该同学的成绩为事件,则在事件发生的条件下事件发生的概率_. （结果用分数表示） 附：满足： ； ；.【答案】【解析】由题意，.故答案为.16. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在轴负半轴且 ，是抛物线上的一点，垂直于点且，分别交，于点，则_.【答案】【解析】根据抛物线的对称性，不妨设点在第一象限，如图所示：点在轴负半轴且 ，是抛物线上的一点，垂直于点且，,，即.准线为线段的垂直平分线，则.故答案为.点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，在解答直线与圆锥曲线的题型中，结合图形进行分析，解答本题的关键是推出，然后结合图形，通过锐角三角函数即可解得.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程
8、或演算步骤.第1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17. 已知函数部分图象如图所示. （1）求值及图中的值； （2）在中，角的对边分别为，已知 ，求的值 【答案】（1）,（2）【解析】试题分析：（1）根据图象可得，从而求得得值，再根据，可得，结合图象可得的值；（2）根据（1）的结论及，可得的值，将 根据正弦定理角化边得，再根据余弦定理即可解得的值.试题解析：（1）由图象可以知道：.又 ，, 从而.由图象可以知道,所以 （2）由,得,且. 由正弦定理得 又由余弦定理得： 解得18. 12月10日, 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾
9、的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为，并对它们进行量化：表示不合格，表示临界合格，表示合格，再用综合指标的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若，则长势为一级；若，则长势为二级；若，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了块青蒿人工种植地，得到如下结果：种植地编号种植地编号 （1）在这块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标相同的概率； （2）从长势等级
10、是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为，记随机变量，求的分布列及其数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用频率进行估计求解；（2）运用列举法和古典概型公式求解.试题解析：（1）计算10块青蒿人工种植地的综合指标，可得下表：编号综合指标1446245353由上表可知：长势等级为三级的只有一个，其频率为，用样本的频率估计总体的频率，可估计该地中长势等级为三级的个数为.（2）由（1）可知：长势等级是一级的（）有，共6个，从中随机抽取两个，所有的可能结果为：，共计15个；其中综合指标的有：，三个，符合题意的
11、可能结果为，共三个，所以概率为.考点：频率分布和古典概型的计算公式等知识的综合运用19. 如图，在四棱锥中，底面， （1）求证：平面 平面; （2）若棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由，推出，再根据平面，推出，从而可证平面 平面；（2）根据题设条件建立以为坐标原点，以，所在射线分别为轴的空间直角坐标系，设，由得出，分别求出平面与平面的一个法向量，再根据二面角的余弦值为，即可求得，从而可得与平面所成角的正弦值试题解析：（1）证明： 平面,平面 平面 平面 平面 平面 （2）解: 以为坐标原点，以，所在射线分别为轴建立空间
12、直角坐标系如图所示，则,由点C向AB作垂线CH, 则, 设.在棱上，（）设平面的法向量, , ，取，则，则. 设平面的法向量, ，取则. ，解得.， 易知平面的法向量，所以与平面所成角的正弦值.点睛：本题主要考查面面垂直的判定定理利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆经过点，且的面积为（1）求椭圆的标准方程；（2）设斜率为的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于两点，与椭圆交于两点，且，当取得最小值时，求直线的方程【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由三角形的面积，即可求得c=2,将点代入椭圆方程，由椭圆的性质a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）直线的方程为，则原点到直线的距离，由弦长公式可得将代入椭圆方程，得，得可得可得所求结论. 试题解析：（1）由的面积可得，即，又椭圆过点，由解得，故椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，则原点到直线的距离，由弦长公式可得将代入椭圆方程，
