《2020届高考数学大二轮复习层级二专题一函数与导数第3讲导数的简单应用教学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高考数学大二轮复习层级二专题一函数与导数第3讲导数的简单应用教学案（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲导数的简单应用考情考向高考导航1此部分内容是高考命题的热点内容在选择题、填空题中多考查导数的几何意义,难度较小2应用导数研究函数的单调性、极值、最值,多在选择题、填空题最后几题的位置考查,难度属中等偏上,属综合性问题有时也常在解答题的第一问中考查,难度中档真题体验1(2019全国卷)曲线y2sin xcos x在点(,1)处的切线方程为()Axy10B2xy210C2xy210 Dxy10解析：Cy2cos xsin x,切线斜率k2cos sin 2,在点(,1)处的切线方程为y12(x),即2xy210.2(全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点,则f(x)的极小值
2、为()A1 B2e3C5e3 D1解析：Af(x)x2(a2)xa1ex1,则f(2)42(a2)a1e30a1,则f(x)(x2x1)ex1,f(x)(x2x2)ex1,令f(x)0,得x2或x1,当x2或x1时,f(x)0；当2x1时,f(x)0,则f(x)极小值为f(1)1.3(2018天津卷)已知函数f(x)exln x,f(x)为f(x)的导函数,则f(1)的值为_解析：由函数的解析式可得：f(x)exln xexex(ln x),则：f(1)e1(ln 1)e.即f(1)的值为e.答案：e4(2019天津卷)已知aR,设函数f(x)若关于x的不等式f(x)0在R上恒成立,则a的取值
3、范围为()A0,1 B0,2C0,e D1,e解析：C首先f(0)0,即a0,当0a1时,f(x)x22ax2a(xa)22aa22aa2a(2a)0,当a1时,f(1)10,故当a0时,x22ax2a0在(,1上恒成立；若xaln x0在(1,)上恒成立,即a在(1,)上恒成立,令g(x),则g(x),易知xe为函数g(x)在(1,)唯一的极小值点、也是最小值点,故g(x)maxg(e)e,所以ae.综上可知,a的取值范围是0,e故选C.主干整合1导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数值就是曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率,其切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0
4、)2导数与函数单调性的关系(1)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)x3在(,)上单调递增,但f(x)0.(2)f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f(x)0时,则f(x)为常函数,函数不具有单调性3可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定,也有可能极小值大于极大值(2)对于可导函数f(x),“f(x)在xx0处的导数f(x)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系,导函数由正变负的零点是原函数的极大值点,导函数由负变正的零点是原函数的极小值点4函数的极值与
5、最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是对整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问题(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有(3)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值热点一导数的几何意义例1(1)(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1,ae)处的切线方程为y2xb,则()Aae,b1Bae,b1Cae1,b1 Dae1,b1解析Dyaexln x1,ky|x1ae1,切线方程为yae(ae1)(x1),即y(ae1)x1.又切线方程为y2xb,即ae1,b1
6、.故选D.(2)(2019成都二模)已知曲线C1：y2tx(y0,t0)在点M处的切线与曲线C2：yex11也相切,则tln的值为()A4e2 B8eC2 D8解析D曲线C1：y,y.当x时,y,切线方程为y2,化简为yx1.与曲线C2相切,设切点为(x0,y0),y|xx0ex01,x0ln1,那么y0ex0111,切线方程为y,化简为yxln1,是同一方程,所以ln11ln,即t4,那么tln4ln e28,故选D.求曲线yf(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0,y0),求yf(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f(x0),由点斜式写出方程(2)已知切线的斜率为k,求y
7、f(x)的切线方程：设切点P(x0,y0),通过方程kf(x0)解得x0,再由点斜式写出方程(3)已知切线上一点(非切点),求yf(x)的切线方程：设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程(1)(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线yln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(e,1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是_解析：导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个
8、公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点设点A(x0,y0),则y0ln x0.又y,当xx0时,y,点A在曲线yln x上的切线为yy0(xx0),即yln x01,代入点(e,1),得1ln x01,即x0ln x0e,考查函数H(x)xln x,当x(0,1)时,H(x)0,当x(1,)时,H(x)0,且H(x)ln x1,当x1时,H(x)0,H(x)单调递增,注意到H(e)e,故x0ln x0e存在唯一的实数根x0e,此时y01,故点A的坐标为A(e,1)答案：(e,1)(2)(2019烟台三模)函数f(x)exsin x的图象
9、在点(0,f(0)处的切线方程是_解析：由f(x)exsin x,得f(x)exsin xexcos x,所以f(0)0且f(0)1,则切线的斜率为1,切点坐标为(0,0),所以切线方程为yx.答案：yx热点二利用导数研究函数的单调性逻辑推理素养逻辑推理分类与整合思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论,常见有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根,求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法.例2(1)(2019青岛三模)若函数f(x)x2x1在区间上单调递减,则实数a的取值范围是_解析由已知得f(x)x2ax1,函数f(x)
10、在区间上单调递减,f(x)0在区间上恒成立,即解得a,实数a的取值范围为.答案(2)(2019吉林三模节选)已知函数f(x)ln xax11,当a0时,讨论f(x)的单调性解f(x)的定义域为(0,),f(x)a.当a0时,f(x),此时,在(0,1)上f(x)0,f(x)单调递减,在(1,)上f(x)0,f(x)单调递增；当a0时,f(x).()当1,即a时,f(x)0在(0,)上恒成立所以f(x)在(0,)上单调递减；()当a0时,1,此时在(0,1),上f(x)0,f(x)单调递减,在上f(x)0,f(x)单调递增综上所述：当a0时,f(x)在(0,1)上单调递减,f(x)在(1,)上单
11、调递增；当a0时,f(x)在(0,1),上单调递减,f(x)在上单调递增；当a时f(x)在(0,)上单调递减求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况大多数情况下,这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时,依据根的大小进行分类讨论(2)在不能通过因式分解求出根的情况时,根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论注意讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的,千万不要忽视了定义域的限制(2019广州二模)已知x1是f(x)2xln x的一个极值点(1)求函数f(x)的单调递减区间(2)设函数g
12、(x)f(x),若函数g(x)在区间1,2内单调递增,求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0,),f(x)2,x(0,)因为x1是f(x)2xln x的一个极值点,所以f(1)0,即2b10.解得b3,经检验,适合题意,所以b3.因为f(x)2,解f(x)0,得0x1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1(2)g(x)f(x)2xln x(x0),g(x)2(x0)因为函数g(x)在1,2上单调递增,所以g(x)0在1,2上恒成立,即20在1,2上恒成立,所以a2x2x在1,2上恒成立,所以a(2x2x)max,x1,2因为在1,2上,(2x2x)max3,所以a3.热点三利用导数
13、研究函数的极(最)值例3(2019银川二模)已知函数f(x)ln xax2(a2)x.(1)若f(x)在x1处取得极值,求a的值(2)求函数yf(x)在a2,a上的最大值审题指导(1)要求a的值,只需要令f(1)0即可(2)要求f(x)的最大值,就要根据与区间a2,a的关系分类讨论,依据单调性求解解析(1)因为f(x)ln xax2(a2)x,所以函数的定义域为(0,)所以f(x)2ax(a2).因为f(x)在x1处取得极值,即f(1)(21)(a1)0,解得a1.当a1时,在上f(x)0,在(1,)上f(x)0,此时x1是函数f(x)的极小值点,所以a1.(2)因为a2a,所以0a1,f(x),
