《2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第7节双曲线教学案文北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第7节双曲线教学案文北师大版（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节双曲线最新考纲1.了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用(对应学生用书第161页)1双曲线的定义(1)平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|的点的集合叫作双曲线,定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a,c为常数且a0,c0.当2a|F1F2|时,M点的轨迹是双曲线；当2a|F1F2|时
2、,M点的轨迹是两条射线；当2a|F1F2|时,M点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)图形性质范围xa或xa,yRxR,ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)渐近线yxyx离心率e(1,)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2a2b2(ca0,cb0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率为e.1过双
3、曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为,也叫通径2双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.3若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|minac,|PF2|minca.4与双曲线1(a0,b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)5当已知双曲线的渐近线方程为bxay0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为b2x2a2y2(0)一、思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线(m0,n0,0)的渐近线方程是0,即0.()(4)等轴双曲
4、线的渐近线互相垂直,离心率等于.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1双曲线1的焦距为()A5B.C2D1C由双曲线1,易知c2325,所以c,所以双曲线1的焦距为2.2以椭圆1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为()Ax21B.y21Cx21D.1A设要求的双曲线方程为1(a0,b0),由椭圆1,得椭圆焦点为(1,0),在x轴上的顶点为(2,0)所以双曲线的顶点为(1,0),焦点为(2,0)所以a1,c2,所以b2c2a23,所以双曲线的标准方程为x21.3已知双曲线1(a0)的离心率为2,则a()A2B. C.D1D依题意,e2,2a,则a21,a1.4经过点A(5,3),且对称
5、轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_1设双曲线的方程为x2y2,把点A(5,3)代入,得16,故所求方程为1.(对应学生用书第162页)考点1双曲线的定义及应用双曲线定义的两个应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合|PF1|PF2|2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF2|的关系(1)设P是双曲线1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|9,则|PF2|等于()A1B17C1或17D以上均不对(2)已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切,与圆C2：(x4)2y22内切,则动圆圆
6、心M的轨迹方程为()A.1(x)B.1(x)C.1(x)D.1(x)(3)已知F1,F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点,点P在C上,F1PF260,则|PF1|PF2|等于()A2B4 C6D8(1)B(2)A(3)B(1)根据双曲线的定义得|PF1|PF2|8|PF2|1或17.又|PF2|ca2,故|PF2|17,故选B.(2)设动圆的半径为r,由题意可得|MC1|r,|MC2|r,所以|MC1|MC2|2,故由双曲线的定义可知动点M在以C1(4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为2a2的双曲线的右支上,即a,c4b216214,故动圆圆心M的轨迹方程为1(x),故选A.(3)由双曲
7、线的方程得a1,c,由双曲线的定义得|PF1|PF2|2.在PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60,即(2)2|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|,解得|PF1|PF2|4,故选B.母题探究1本例(3)中,若将条件“F1PF260”改为|PF1|2|PF2|,试求cosF1PF2的值解根据双曲线的定义知,|PF1|PF2|PF2|2,则|PF1|2|PF2|4,又|F1F2|2cosF1PF2.2本例(3)中,若将条件“F1PF260”,改为0,则F1PF2的面积是多
8、少？解不妨设点P在双曲线的右支上则|PF1|PF2|2a2,由0,得.在F1PF2中,|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,即(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|8,|PF1|PF2|2.SF1PF2|PF1|PF2|1.(1)求双曲线上的点到焦点的距离时,要注意取舍,如本例T(1)；(2)利用定义求双曲线方程时,要注意所求是双曲线一支,还是整个双曲线,如本例T(2)1.已知点F1(3,0)和F2(3,0),动点P到F1,F2的距离之差为4,则点P的轨迹方程为()A.1(y0)B.1(x0)C.1(y0)D.1(x0)B由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支,设其方程为1
9、(x0,a0,b0),由题设知c3,a2,b2945,所以点P的轨迹方程为1(x0)2已知双曲线x21的两个焦点为F1,F2,P为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|,则F1PF2的面积为()A48B24C12D6B由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2,解得|PF2|6,故|PF1|8,又|F1F2|10,由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形,因此SF1PF2|PF1|PF2|24.3若双曲线1的左焦点为F,点P是双曲线右支上的动点,A(1,4),则|PF|PA|的最小值是()A8B9 C10D12B由题意知,双曲线1的左焦点F的坐标为(4,0),设双曲线的右焦点为B,则B
10、(4,0),由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459,当且仅当A,P,B三点共线且P在A,B之间时取等号考点2双曲线的标准方程求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点,且确定了焦点在x轴上或y轴上,则设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a,b,c的方程组,解出a2,b2,从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个,也有可能是两个,注意合理取舍,但不要漏解)(2)当焦点位置不确定时,有两种方法来解决：一种是分类讨论,注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx2ny21(mn0)求解(1)(2019荆门模拟)方程1表示双曲线的一个充分不必要条件是
11、()A3m0B1m3C3m4D2m3(2)一题多解已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为yx,则该双曲线的标准方程是()A.1B.1Cx21D.1(3)(2018天津高考)已知双曲线1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1d26,则双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1(1)B(2)C(3)C(1)方程1表示双曲线,则(m2)(m3)0,解得2m3.要求充分不必要条件,选项范围是2m3的真子集,只有选项B符合题意故选B.(2)法一：当其中的一条渐近线方程yx中的x2时,y23,又点(2,3)在
12、第一象限,所以双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程是1(a0,b0),由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x21,故选C.法二：因为双曲线的渐近线方程为yx,即x,所以可设双曲线的方程是x2(0),将点(2,3)代入,得1,所以该双曲线的标准方程为x21,故选C.(3)如图,不妨设A在B的上方,则A,B.其中的一条渐近线为bxay0,则d1d22b6,b3. 又由e2,知a2b24a2,a.双曲线的方程为1. 故选C.已知双曲线的渐近线方程,用渐近线方程设出双曲线方程,运算过程较为简单教师备选例题设双曲线与椭圆1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交点的坐标为(,4),则此双曲线的标准方程
13、是_1 法一：椭圆1的焦点坐标是(0,3),设双曲线方程为1(a0,b0),根据双曲线的定义知2a|4,故a2.又b232225,故所求双曲线的标准方程为1.法二：椭圆1的焦点坐标是(0,3)设双曲线方程为1(a0,b0),则a2b29,又点(,4)在双曲线上,所以1,联立解得a24,b25.故所求双曲线的标准方程为1.1.(2019湘潭模拟)以双曲线1的焦点为顶点,且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为()Ax2y21B.y21C.1D.1D由题可知,所求双曲线的顶点坐标为(3,0)又因为双曲线的渐近线互相垂直,所以ab3,则该双曲线的方程为1.故选D.2已知双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分
