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1、第1讲函数的图象与性质考情考向高考导航1高考对函数的三要素,函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主,难度中等偏下2对图象的考查主要有两个方面：一是识图,二是用图,即利用函数的图象,通过数形结合的思想解决问题3对函数性质的考查,主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查,既有具体函数也有抽象函数常以选择题、填空题的形式出现,且常与新定义问题相结合,难度较大真题体验1(2018全国卷)下列函数中,其图象与函数yln x的图象关于直线x1对称的是()Ayln(1x)Byln(2x)Cyln(1x) Dyln(2x)解析：Byln x过点(1,0),(1,0)关于x1的对称点是(1,0),而只有
2、B选项过此点,故选B.2(2019全国卷)设f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)ex1,则当x1,排除选项C、D,故选B.4(2018全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(,1 B(0,)C(1,0) D(,0)解析：D画出函数f(x)的图象如图,当2x0,x10时f(x1)f(2x)成立,1x0.当2x0,x10时,要使f(x1)f(2x)成立,只需x12x,x1.由知满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是(,0)主干整合1函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图作函数图象有两种基本方法：一是描点法,二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、
3、对称变换2函数的性质(1)单调性对于函数yf(x)定义域内某一区间D上的任意x1,x2,(x1x2)f(x1)f(x2)0(0)yf(x)在D上是增(减)函数；对于函数yf(x)定义域内某一区间D上的任意x1,x2,0(0)yf(x)在D上是增(减)函数(2)奇偶性对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)f(x)0yf(x)是奇函数；对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)f(x)0yf(x)是偶函数(3)周期性若函数f(x)满足f(xa)f(xa),则f(x)是周期函数,其中一个周期是T2a(a0)；若满足f(xa)f(x),则f(x)是周期函数,其中一个周期是T2a(a0)；若
4、满足f(xa),则f(x)是周期函数,其中一个周期是T2a(a0)；若函数满足f(xa),则f(x)是周期函数,其中一个周期是T2a(a0)(4)对称性若函数yf(x)满足f(ax)f(ax),即f(x)f(2ax),则f(x)的图象关于直线xa对称提醒：函数yf(ax)与yf(ax)的图象对称轴为x0,并非直线xa.若f(x)满足f(ax)f(bx),则函数f(x)的图象关于直线x对称若函数yf(x)满足f(x)2bf(2ax),则该函数图象关于点(a,b)成中心对称热点一函数及其表示题组突破1(2020苏州模拟)函数f(x)的定义域是0,3,则函数y的定义域是_解析：因为函数f(x)的定义
5、域是0,3,所以由得即x2且x1,即函数的定义域为.答案：2(2018江苏卷)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR),且在区间(2,2上,f(x)则f(f(15)的值为_解析：因为f(x4)f(x),函数的周期为4,所以ysin(2x4),f(15)f(1),f(1),f(f(15)fcos.答案：3(2017课标全国)设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_解析：由题意：g(x)f(x)f,函数g(x)在区间(,0,三段区间内均单调递增,且：g1,2001,(1)2011,据此x的取值范围是：.答案：4(多选题)在下列四组函数中,f(x)与g(x)表示同一函数的是()Af(x)
6、x1,g(x)Bf(x)|x1|,g(x)Cf(x)1,g(x)(x1)0Df(x),g(x)解析：BD本题考查判断两个函数是否相同对于A,函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为x|x1,f(x)与g(x)的定义域不相同,则不是同一函数；对于B,函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,f(x)与g(x)的定义域相同,f(x)|x1|对应关系相同,则f(x)与g(x)是同一函数；对于C,函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为x|x1,f(x)与g(x)的定义域不相同,则不是同一函数；对于D,函数f(x)1(x0),g(x)1(x0)的定义域与对应法则均相同,是同一函数故选BD
7、.函数及其表示问题的注意点1求函数的定义域时,要全面地列出不等式组,不可遗漏,并且要注意所列不等式中是否包含等号2对于分段函数解方程或不等式的问题,要注意在所应用函数解析式对应的自变量的范围这个大前提,要在这个前提条件下解决问题热点二函数的图象及其应用例1(1)(2019全国卷)函数f(x)在,的图象大致为()解析Df(x)f(x),f(x)为奇函数,排除A.当x时,f()0,排除B,C.故选D.(2)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2解析C令g(x)ylog2(x1),作出函数g(x)图象如图由得
8、结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|1x1识图、用图的方法技巧(1)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围,变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系如例1(1)(2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象研究如例1(2)(1)(2019南昌三模)函数f(x)的部分图象大致是()解析：B因为函数f(x)的定义域为,f(x)f(x),所以f(x)为偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,故排除A,令f(x)0,即0,解得x0,所以函数f(x)只有一个零点,故排除D,当x1时,f(1)0,故排除C,综上所述,只有B符合(2)
9、(2019德州三模)用mina,b,c表示a,b,c中的最小值设f(x)min2x,x2,10x(x0),则f(x)的最大值为_解析：f(x)min2x,x2,10x(x0)的图象如图中实线所示令x210x,得x4.故当x4时,f(x)取最大值,又f(4)6,所以f(x)的最大值为6.答案：6热点三函数的性质及其应用数学抽象素养数学抽象抽象函数与函数的“三性”函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到,函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性.确定函数的单调性、奇偶性、对称性等例2(1)(
10、2019唐山调研)已知函数f(x)ln xln(2x),则()Af(x)在(0,2)单调递增Bf(x)在(0,2)单调递减Cyf(x)的图象关于直线x1对称Dyf(x)的图象关于点(1,0)对称解析C由题意知,f(2x)ln(2x)ln xf(x),所以f(x)的图象关于直线x1对称,C正确,D错误；又f(x)(0x2),在(0,1)上单调递增,在1,2)上单调递减,A、B错误故选C.(2)(2019大同三模)设函数f(x)ln(1|x|),则使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范围是()A.B.(1,)C. D.解析Af(x)是偶函数,且在0,)上是增函数,所以f(x)f(2x1)f(|x
11、|)f(|2x1|)|x|2x1|x1.函数性质的综合应用例3(1)(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(,)的奇函数,满足f(1x)f(1x)若f(1)2,则f(1)f(2)f(3)f(50)()A50B0C2 D50解析Cf(x)是奇函数,图象关于原点对称,又f(1x)f(1x),f(x)关于x1对称,故知f(x)是周期函数,周期T4.又f(2)f(0)0,f(3)f(41)f(1)f(1)2,f(4)f(2)0,f(1)f(2)f(3)f(4)20(2)00,f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)f(2)202.(2)(2019武汉三模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x1)
12、f(x1),且当x1,1时,f(x)x,则()Af(3)f(2)fBff(3)f(2)Cf(2)f(3)fDf(2)ff(3)解析D因为f(x1)f(x1),所以f(x)f(x2),即函数的周期是2,当x1,1时,f(x)xx,则f(x)xxxf(x),则函数f(x)为偶函数,当0x1时,函数yx为增函数,y1也为增函数,则函数f(x)xx在0x1为增函数,则fff,f(3)f(32)f(1)f(1),f(2)f(0),则f(0)ff(1),即f(2)ff(3)函数三个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)f(x)(2)单调性：可以比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解(1)(2019贵阳调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x4)f(x2)若当x3,0时,f(x)6x,则f(919)_
