《2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第5节椭圆第1课时椭圆及其性质教学案文北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第5节椭圆第1课时椭圆及其性质教学案文北师大版（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1课时椭圆及其性质最新考纲1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(对应学生用书第153页)1椭圆的定义(1)我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆这两定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a,c为常数且a0,c0.当2a|F1F2|时,M点的轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时,M点的轨迹为线段F1F2；当2a|F1F2|时,M点的轨迹不存在2椭圆的标准方程和几何性质标准方
2、程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axa,bybbxb,aya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a),B1(b,0),B2(b,0)焦点坐标F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)半轴长长半轴长为a,短半轴长为b离心率e,且e(0,1)a,b,c的关系c2a2b21过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦,长为,过焦点最长弦为长轴2过原点最长弦为长轴长2a,最短弦为短轴长2b.3与椭圆1(ab0)有公共焦点的椭圆方程为1(b2)4焦点三角形：椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1
3、,F2构成的PF1F2叫做焦点三角形若F1PF2,则(1)|PF1|PF2|2a.(2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .(3)SPF1F2|PF1|PF2|sin ,当|y0|b,即P为短轴端点时,SPF1F2取最大值,为bc.(4)焦点三角形的周长为2(ac)(5)已知过焦点F1的弦AB,则ABF2的周长为4a.一、思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆()(3)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等()答案(1)(2)
4、(3)(4)二、教材改编1设P是椭圆1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|PF2|等于()A4B5C8D10D依椭圆的定义知：|PF1|PF2|2510.2已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则椭圆C的方程是()A.1B.1C.1D.1D设椭圆的标准方程为1(ab0)因为椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e,所以解得故椭圆C的标准方程为1.3过点A(3,2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的方程为()A.1B.1C.1D.1A设所求椭圆的方程为1(4),则有1,解得6,故所求椭圆方程为1.4已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形
5、的面积等于1,则点P的坐标为_或设P(xP,yP),xP0,由题意知|F1F2|2.则SPF1F2|F1F2|yP|1,解得|yP|1.代入椭圆的方程,得1,解得x,因此点P的坐标为或.(对应学生用书第154页)考点1椭圆的定义及应用利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法求方程通过对题设条件分析、转化后,能够明确动点P满足椭圆的定义,便可直接求解其轨迹方程求焦点三角形利用定义求焦点三角形的周长和面积解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理其中|PF1|PF2|2a两边平方是常用技巧求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值,可联系到基本不等式求|PF1|PF2|的最值；利用定义|
6、PF1|PF2|2a转化或变形,借助三角形性质求最值(1)已知两圆C1：(x4)2y2169,C2：(x4)2y29,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1B.1C.1D.1(2)如图,椭圆1(a2)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上的一点,若F1PF260,那么PF1F2的面积为()A.B.C.D.(3)设F1,F2分别是椭圆1的左、右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|PF1|的最小值为_(1)D(2)D(3)5(1)设圆M的半径为r,则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|,所以M的轨迹是以C1
7、,C2为焦点的椭圆,且 2a16,2c8,故所求的轨迹方程为1.(2)由题意知|PF1|PF2|2a,|F1F2|24a216,由余弦定理得4a216|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60,即4a216(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|,|PF1|PF2|,SPF1F2|PF1|PF2|sin 60,故选D.(3)由题意知,点M在椭圆外部,且|PF1|PF2|10,则|PM|PF1|PM|(10|PF2|)|PM|PF2|10|F2M|10.(当且仅当点P,M,F2三点共线时等号成立)又F2(3,0),则|F2M|5.|PM|PF1|5,即|PM|PF1|的最小值为
8、5.解答本例T(3)的关键是差式(|PM|PF1|)转化为和式|PM|PF2|10.而转化的依据为|PF1|PF2|2a.1.已知A(1,0),B是圆F：x22xy2110(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为()A.1B.1C.1D.1D由题意得|PA|PB|,|PA|PF|PB|PF|r2|AF|2,点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆,且a,c1,b,动点P的轨迹方程为1,故选D.2已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若AF1B的周长为12,则椭圆C的标准方程为()A.y21B.1C.1D.1D由
9、椭圆的定义,知|AF1|AF2|2a,|BF1|BF2|2a,所以AF1B的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a12,所以a3.因为椭圆的离心率e,所以c2,所以b2a2c25,所以椭圆C的方程为1,故选D.3已知F1,F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1PF2,若PF1F2的面积为9,则b_.3设|PF1|r1,|PF2|r2,则 所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2,所以SPF1F2r1r2b29,所以b3.考点2椭圆的标准方程求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程(2)待定系
10、数法一般步骤如下：(1)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为_(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(,),则椭圆的方程为_(3)一题多解与椭圆1有相同离心率且经过点P(2,)的椭圆方程为_(1)1(2)1(3)1或1(1)设椭圆的标准方程为1(ab0),由点P(2,)在椭圆上知1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|PF2|2|F1F2|,即2a22c,.又c2a2b2,联立得a28,b26,故椭圆方程为1.(2)设椭圆方程为mx2n
11、y21(m0,n0且mn)椭圆经过点P1,P2,点P1,P2的坐标适合椭圆方程,则由两式联立,解得所求椭圆的方程为1.(3)法一：因为e,若焦点在x轴上,设所求椭圆方程为1(mn0),则1,从而,.又1,所以m28,n26.所以椭圆方程为1.若焦点在y轴上,设椭圆方程为1(hk0),则1,且,解得h2,k2.故所求方程为1,故椭圆的方程为1或1.法二：若焦点在x轴上,设所求椭圆方程为t(t0),将点P(2,)代入,得t2.故所求方程为1；若焦点在y轴上,设方程为(0),代入点P(2,),得,故所求方程为1.故椭圆的方程为1或1.离心率相同的两个椭圆焦点可能在不同的轴上,因此要分类求解,如本例T
12、(3)教师备选例题1已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为4,则椭圆的标准方程为()A.1B.1C.1D.1C由长、短半轴长之和为10,焦距为4,可得ab10,2c4,c2.又a2b2c2,a236,b216.焦点在x轴上,所求椭圆方程为1.故选C.2已知中心在坐标原点的椭圆过点A(3,0),且离心率e,则椭圆的标准方程为_1或1若焦点在x轴上,由题知a3,因为椭圆的离心率e,所以c,b2,所以椭圆方程是1.若焦点在y轴上,则b3,a2c29,又离心率e,解得a2,所以椭圆方程是1.1.已知a,bR,则“a0b”是“1表示椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件
13、C充要条件D既不充分也不必要条件B当a0b且ab时,1表示圆,充分性不成立；当1表示椭圆时,a0b且ab,必要性成立,所以“a0b”是“1表示椭圆”的必要不充分条件,故选B.2已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,且短轴长为2,离心率为,则该椭圆的标准方程为()A.y21B.y21C.y21D.x21A由题意设椭圆方程为1(ab0),则2b2,故b1.又,a2b2c2,a25.椭圆C的标准方程为y21.故选A.考点3椭圆的几何性质求椭圆离心率的值(或范围)1求椭圆离心率的方法(1)定义法：根据条件求出a,c,直接利用公式e求解(2)方程法：根据条件得到关于a,b,c的齐次等式(不等式),结合b2
