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1、长春外国语学校2018-2019学年第一学期期末考试高三年级数学试卷（文科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5
2、分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出两个集合对应的不等式的解集，然后二者取交集即可。【详解】由题意知，集合，所以.故选A.【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系与运算，属于基础题。2.设i为虚数单位，若复数满足 ，则（ ）A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算，化简即可。【详解】由题意，.【点睛】本题考查了复数的四则运算，属于基础题。3.在等差数列中,，则（ ）A. 5 B. 8 C. 10 D. 14【答案】B【解析】试题分析：设等
3、差数列的公差为，由题设知，所以，所以，故选B.考点：等差数列通项公式.【此处有视频，请去附件查看】4.已知，都是实数，那么“ ”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”.5.设l,m是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A. 若m,则 B. 若则C. 若则 D. 若则【答案】C【解析】试题分析：（1）不正确，因为没有说明，（2）不正确，因为有可能，（3）正确；（4）有可能考点：线线，线面，面面的位置关系6.已知点为平面区域上的一个动点，则的取值范
4、围是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据线性约束条件作可行域，由z的几何意义可得z的取值范围.【详解】由约束条件作出可行域如图，的几何意义是可行域内的点与连线的斜率，由可行域可知，当取点B（0,2）时，连线斜率最大，所以的最大值为,当取点A（1,1）时，连线斜率最小，所以的最小值为,则的取值范围是故选：C.【点睛】线性规划中的最值,范围问题主要涉及三个类型：1.分式形式：与斜率有关的最值问题：表示定点P与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率.2. 一次形式z=ax+by:与直线的截距有关的最值问题, 特别注意斜率范围及截距符号.3. 与距离有关的最值问题:表示定点P到可行
5、域内的动点N(x,y)的距离。7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A. 5 B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中PA平面ABCD，PA=3，AB=CD=4，AD=BC=5，PB=，PC=，PD=该几何体最长棱的棱长为故选：D8.在中，为重心，记,，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】为的重心 故选A9.已知函数
6、在处取得极小值，则的最小值为（ ）A. 4 B. 5 C. 9 D. 10【答案】C【解析】 由，得，则， 所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选C.10.已知是定义域为的奇函数，满足, 若，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得f（0）=0，f（x）为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和【详解】f（x）是定义域为（，+）的奇函数，可得f（x）=f（x），f（1x）=f（1+x）即有f（x+2）=f（x），即f（x+2）=f（x），进而得到f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x）为周期为4的函数，若f（1）=2，可得f（3）=f（1
7、）=f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，可得f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）=5040+2+0=2故选：B【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题11.定义行列式运算，已知函数，满足：，且的最小值为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出函数的解析式，然后由的最小值为可以求出周期，进而求出.【详解】由题意得，因为的最小值为，所以，则由得.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题。12.函数的导函数，对
8、，都有成立，若，则满足不等式的的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：设在定义域上单调递增，不等式即，即，选C考点：利用导数研究函数的单调性【名师点睛】本题考查导数的运用：求单调性，考查函数的单调性的运用：解不等式，属中档题，解题时通过构造新函数，判断单调性是解题的关键第卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13.已知点,若，则_.【答案】 【解析】【分析】先由，求出m的值，进而求出.【详解】因为，所以，解得，故，.【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，及平面向量的模的计算，属于基础题。14.已知曲线,则曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积为_.【答案】 【解析
9、】【分析】对函数求导，由可以求出切线的斜率，进而求出切线方程，然后求出切线与坐标轴的交点，从而求出围成的三角形的面积。【详解】对求导，而，所以曲线在处的切线斜率为1，切线方程为，切线与坐标轴的交点为（0，1）和（-1，0），所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于基础题。15.两直线与平行，则它们之间的距离为_.【答案】【解析】16.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体为_. 【答案】【解析】试题分析：设所给半球的半径为，则四棱锥的高，则，由四棱锥的体积，半球的表面积为：考点：球的表面积【方法点睛】涉及球与棱柱、
10、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知向量， ，函数 （1）求函数的单调递增区间；（2）已知分别为内角A,B,C的对边，其中A为锐角，且=1 ，求的面积S【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由 经降幂公式得 ，三角函数的和差公式得 ，由三角函数的性质即可求得的单调递增区间为；因为，因
11、为，所以由余弦定理，得，最后代入三角形的面积中即可.试题解析（1） 令解得所以的单调递增区间为因为，所以由余弦定理，得18.如图，在底面为梯形的四棱锥中，已知，.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）先利用等腰三角形的三线合一得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和性质进行证明；（2）连接，利用线面垂直的判定证明平面，合理转化四面体的顶点进行求解试题解析：（）设为的中点，连接，又平面，且，平面，又平面（）连接，在中， ，为的中点，为正三角形，且，在中，为的中点，且，在中，为直角三角形，且又，且平面考点：1.空间中垂直关系的转化；2.几何体的
12、体积【思路点睛】本题考查空间中垂直关系的相互转化以及几何体的体积的求法，属于中档题；证明空间中的平行或垂直关系，往往要利用线线、线面、面面间的关系的转化，其思想是“立体几何平面化”，即关键是合理平面化；求四面体的体积问题，往往要根据题意合理转化四面体的顶点，使底面积和点到该面的距离可求.19.已知圆 关于直线 对称的圆为C.（1）求圆C的方程；（2）过点作直线与圆C交于A,B两点， O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使得在平行四边形OASB中？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在直线和【解析】试题分析：（1）将圆的一般方程转化为标准方程，将圆
13、关于直线对称问题转化为点关于直线对称问题，进而求出圆的方程；（2）先由条件判定四边形为矩形，将问题转化为判定两直线垂直，利用平面向量是数量积为0进行求解.试题解析：（1）圆化为标准为，设圆的圆心关于直线的对称点为，则，且的中点在直线上，所以有，解得：，所以圆的方程为.（2）由，所以四边形为矩形，所以.要使，必须使，即：.当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，与圆交于两点，.因为，所以，所以当直线的斜率不存在时，直线满足条件.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为.设由得：.由于点在圆内部，所以恒成立，要使，必须使，即，也就是：整理得：解得：，所以直线的方程为存在直线和，它们与圆交两点，且四边形对角线相等.点睛：在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，如本题中当斜率不存在时也符合题意.20.已知数列的前n项和满足，且 .（1）求数列的通项公式；（2）记，为的前n项和，求使成立的n的最小值.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）先由，可知数列为等差数列，进而求出的表达式，再由求出的通项公式；（2）利用裂项相消求和法先求出，进而可以求出满足题意的.【详解】（1）由已知，数列为等差数列，且，即，当时，又也满足上式，； （2）由（1）知， ， 由有，有，所以，的最小值为5.【点睛】裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，
