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1、第四十九讲 分类讨论A组 1.已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于()A. B. C.0 D.或0答案：D解析： 不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有直线ykx1与直线x0垂直(如图)或直线ykx1与直线y2x垂直(如图)时，平面区域才是直角三角形.由图形可知斜率k的值为0或.2.点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A BC D答案：D 解析：将化为，当a0时，准线，由已知得，12，a.当a0时，准线，由已知得6，抛物线方程为，故选D.3.某人根据自己爱好，希望从W，X，Y，Z中选2
2、个不同字母，从0,2,6,8中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有()A198个 B180个 C216个 D234个 答案：A解析：不选2时，有A A72个；选2，不选Z时，有CCAA72个；选2时，2在数字的中间，有ACC36个，当2在数字的第三位时，AA18个根据分类加法计数原理知，共有72723618198个，故选A.4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)f(x2)，当0x2时，f(x)1log2(x1)，则当0x4时，不等式(x2)f(x)0的解集是()A(0,1) (2,3) B(0
3、,1)(3,4)C(1,2)(3,4) D(1,2)(2,3)答案：D解析：当0x2时，x20，不等式可化为即 解得1x2，当2x4时，x20，不等式可化为由函数f(x)是奇函数，得f(x)f(x)，又f(x2)f(x2)，则f(x)f(x22)f(x22)f(4x)，因为04x2，不等式可化为解得2x3，所以原不等式的解集为(1,2)(2,3)，故选D.5.如图，在ABC中，A30，BC2，D是AB边上的一点，CD2，BCD的面积为4，则AC的长为 .答案：4或2 解析：设BCD，则在BCD中，SBCD22sin 4，即sin ,则cos ,BD2204816或32，即BD4或4.当BD4时
4、， 即sin B，此时，即AC4；当BD4时，即sin B，此时，即AC2.综上，AC的长为4或2.6.(湖南省师大等2016届高三四校联考)若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_.答案:.解析:，又在上单调递增，即实数的取值范围是-4,0.7.已知a0且a1，若函数f(x)loga(ax2x)在3，4上是增函数，则a的取值范围解析:由已知可得ax2x0在3，4上恒成立，故9a30，解得a.若0a1，则ylogat在(0，)上单调递减，由题意知tax2x在3，4上为减函数，故4，解得a，这与a矛盾，不合题意；若a1，则ylogat在(0，)上单调递增，由题意知tax2x在3，4上为增函数，故
5、3，解得a，因为a1，所以a的取值范围是(1，)8.已知函数f(x)sin x(x0),g(x)ax(x0). (1)若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围； (2)当a取(1)中的最小值时,求证：g(x)f(x)x3.解析：(1)解令h(x)sin xax(x0),则h(x)cos xa.若a1,h(x)cos xa0,h(x)sin xax(x0)单调递减,h(x)h(0)0,则sin xax(x0)成立.若0a0,h(x)sin xax(x(0,x0)单调递增,h(x)h(0)0,不合题意.若a0,结合f(x)与g(x)的图象可知显然不合题意.综上可知,a的取值范围是1,).(2)
6、证明当a取(1)中的最小值为1时,g(x)f(x)xsin x.设H(x)xsin xx3(x0),则H(x)1cos xx2.令G(x)1cos xx2,则G(x)sin xx0(x0),所以G(x)1-cos x-x2在0,)上单调递减,此时G(x)1-cos x-x2G(0)0,即H(x)1-cos x-x20,所以H(x)x-sin x-x3在x0,)上单调递减.所以H(x)x-sin x-x3H(0)0,则x-sin xx3(x0).所以,当a取(1)中的最小值时,g(x)f(x)x3.9. （2015年全国I高考理科）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线(0)交与M,N两点，（
7、）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由。【答案】（）或（）存在解析：（）由题设可得，或，.，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为，即. 故所求切线方程为或. 5分（）存在符合题意的点，证明如下： 设P（0，b）为复合题意得点，直线PM，PN的斜率分别为. 将代入C得方程整理得. . =. 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故OPM=OPN，所以符合题意. 考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力10.（2015年全国I高
8、考理科）已知函数f（x）= ()当a为何值时，x轴为曲线 的切线；（）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数【答案】（）；（）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.【解析】试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.试题解析：（）设曲线与轴相切于点，则，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线. 5分（）当时，从而， 在（1，+）无零点. 当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.当时，所以只需考虑在（0,1）的零点个
9、数.()若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点. ()若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=。 若0，即0，在（0,1）无零点. 若=0，即，则在（0,1）有唯一零点； 若0，即，由于，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.10分综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. 12分考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想B组1.(2016内蒙古赤峰模拟)已知实数a0，且a1，函数f(x)loga|x|在
10、(，0)上是减函数，函数g(x)ax，则下列选项正确的是() A.g(3)g(2)g(4) B.g(3)g(4)g(2) C.g(4)g(3)g(2) D.g(2)g(3)1,故g(3)g(2)(a1)0,所以g(3)g(2)，又g(4)g(3)(a1)0，所以g(4)g(3)，故有g(4)g(3)g(2).2.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为()A.30B.60C.30或60D.45或60答案：C解析:球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部;球心在三棱锥外部.球心在三棱锥内
11、部时,三棱锥为正三棱锥,设O为ABC的中心,在ABC中,可求得OA=,所以可得OA=2,SO=3,SA与平面ABC所成的角即为SAO,由tanSAO=,得SAO=60.同理可得第二种情况中所成角为30.3.（2015全国） 设函数=,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得0，则的取值范围是（ ）A.-，1） B. -，） C. ，） D. ，1）【答案】D 【解析】试题分析：设=，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，0，当时，0，所以当时，=，当时，=-1，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得1，故选D.4.已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（ ）A.
12、 B. C. D. 答案：B思路：考虑通过图像变换作出的图像（如图），因为最多只能解出2个，若要出七个根，则，所以，解得： 5.已知等比数列an中，a21，则其前3项的和S3的取值范围是()A(，1 B(，0)(1，)C3，) D(，13，)【答案】D设等比数列an的公比为q，则S3a1a2a3a21q，当q0时，S31q123；当q0时，若x1，f(x)0，f(f(x)f(lg x)lg(lg x)0lg x1，x10成立若x1，f(x)0时f(f(x)0有且只有一个实数解当a1, f(x)0，f(f(x)f(lg x)lg(lgx)0，x10成立若0x1，f(x)0，f(f(x)lg01.ax1.x11，a1时有解1a0或1a0.7.(宁夏银川市唐徕回民中学2016届高三月考)已知命题p：关于x的不等式ax1(a0，a1)的解集是x|x0，命题q：函数ylg(ax2xa)的定义域为R，如果pq为真命题，pq为
