高中数学解题方法系列：解析几何中的求异思维

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1、第 1 页 共 17 页 高中数学解题方法系列 解析几何中的求异思维高中数学解题方法系列 解析几何中的求异思维 所谓求异思维是一种不依常规 寻求变异 从多方面探索答案的思维形式 求异思维又 叫发散思维 它具有不落俗套 标新立异 不拘一格的特点 因此 用求异思维解题有利于 培养思维的多向性 灵活性和独特性 在平面解析几何中 培养学生的求异思维能力 要注意以下几个方面 一 变换思维方向 一 变换思维方向 解证解析几何习题 常常会出现 思路自然 运算麻烦 的局面 甚至会到 山穷水尽 疑无路 的地步 这时 若能变换思维角度 多方位思考 多渠道辟径 就会超过思维障碍 呈现 柳暗花明又一村 的美景 例 1

2、例 1已知点 A 1 1 B 7 2 以 A 为圆心 8 为半径作 A 以 B 为圆心 6 为半 径作 B 求这两个圆外公切线交点 P 的坐标 分析 分析 如图 1 4 解本题的自然思路是 先求出两条外公切线的方程 再解方程 求出交点坐标 但这种解法是入手容易出手难 由于运算量过大 使思维陷入困境 如果能 换一个角度思考 联想到公切 径之比 那么 便可用线段定比分点公式 使问题获得巧解 解 解 如图 1 4 设 M N 是一条外公切线与两个圆的切点 连结 AB BP 则 A B P 三点共线 再连结 AM BN 则 AM MP BN MP BN AM 第 2 页 共 17 页 设点 P 的坐标

3、为 x y 则由线段定比分点公式 得 故点 P 的坐标为 25 11 例 2例 2如图 1 5 直线 y kx b 与圆 x 2 y2 1 交于 B C 两点 与双曲线 x2 y2 1 交于 A D 两点 若 B C 恰好是线段 AD 的三等分点 求 k 与 b 的值 分析 分析 如图 1 5 解本题的自然思路是 由 AB BC CD 入手 先计算出 AB BC CD 即用 k b 表示 然后解方程组求得 k b 的值 但由于线段 AB CD 的端点不在 同一曲线上 从而上述解法运算相当麻烦 如果变换思考角度 由 AB CD 出发 可得线段 BC 与 AD 的中点重合 进而可用韦达定理 列出

4、k b 的一个关系式 再 解 解 如图 1 5 把 y kx b 代入 x 2 y2 1 中 整理 得 1 k 2 x2 2bkx b2 1 0 从而由韦达定理 得 把 y kx b 代入 x 2 y2 1 中 整理 得 1 k 2 x2 2bkx b2 1 0 第 3 页 共 17 页 AB CD AD 与 BC 的中点重点 解之 得 k 0 或 b 0 当 k 0 时 方程 化为 x 2 1 b2 二 一题多解 二 一题多解 在解析几何中 进行一题多解训练是培养求异思维能力的一种极好形式 例 3例 3已知直线 l过坐标原点 抛物线 C的顶点在原点 焦点在 x轴正半轴上 若点 A 1 0 和

5、点 B 0 8 关于 l 的对称点都在 C 上 求直线 l 和抛物线 C 的方程 1994 年全国高考理 科试题 第 4 页 共 17 页 分析 1 分析 1 设直线 l 的方程为 y kx 抛物线 C 的方程为 y 2 2px p 0 先求出 A B 关于 l 对称的点 A B 的坐标 用 k 表示 再代入抛物线 C 的方程中 可得 k p 的方程 组 最后解方程组即可 解法 1 解法 1 如图 1 6 由已知可设抛物线 C 的方程为 y 2 2px p 0 由于直线 l 不与两坐标轴重合 故可设 l 的方程为 y kx k 0 设 A B 分别是 A B 关于 l 的对称点 则由 A A

6、l 可得 直线 AA 的方程为 将 联立 解得线段 AA 的中点 M 的坐标为 分别把 A B 的坐标代入抛物线 C 的方程中 得 第 5 页 共 17 页 由 消去 p 整理 得 k 2 k 1 0 又由 知 k 0 分析 2 分析 2 如图 1 7 设直线 l 的倾斜角为 则 l 的斜率为 用 的三角函数表示点 A B 的坐标 再把这些坐标用 k 表示 以下同解法 1 第 6 页 共 17 页 l 的斜率为 k OA OA 1 OB OB 8 xOA 2 由三角函数的定义 得 A 的坐标为 xA OA cos xOA cos2 yA OA sin xOA sin2 以下同解法 1 从略 又

7、 OB 8 OA 1 从而此题可设极坐标方程去解 解法 3 解法 3 如图 1 7 以 O 为极点 Ox 为极轴建立极坐标系 把 x cos 代入方程 y 2 2px p 0 中 得抛物线的坐标方程为 第 7 页 共 17 页 由已知可设点 B 的极坐标为 8 A 的极坐标为 1 直线 l 平分 BOB 第 8 页 共 17 页 8 OA OB 列出 p t1 t2的方程组 进而去求解 OA OA 1 OB OB 8 又由 OA OB 得 kOA kOB 1 第 9 页 共 17 页 分析 5 分析 5 如图 1 7 由于 OA 1 OB 8 A 解法 5 解法 5 如图 1 7 把直角坐标系

8、视为复平面 设点 A 得点 B 对应的复数为 x1 y1i 8i 8y1 8x1i 点 A B 的坐标为 x1 y1 8y1 8x1 把它们分别代入抛物线 C 的方程 y 2 2px p 0 中 得 第 10 页 共 17 页 即 kOA 2 又 OA 1 以下同解法 4 从略 分析 6 分析 6 本题也可以把抛物线的参数方程与复数法结合起来去解 数乘法的几何意义 得 由复数相等的条件 得 消去 p 解得 t2 2 从而 B 的坐标为 8p 4p 线段 BB 的中点 C 的坐标为 4p 2p 4 第 11 页 共 17 页 分析 7 分析 7 在解法 5 中 利用复数乘法的几何意义 发现了 A

9、 B 坐标之间的关系 式 从而获得简解 如图 1 8 点 B 与点 A 的坐标关系也可用平面几何法得到 解法 7 解法 7 如图 1 8 作 A C Ox 于 C B D Ox 于 D 设 A B 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 B OD A OC 90 Rt A CO Rt ODB 又 OA 1 OB 8 OD 8 A C B D 8 OC 于是 x2 8y1 y2 8x1 以下同解法 5 从略 解说 解说 本例给出了七种解法 解法 1 是本题的一般解法 它的关键是求点 A B 关 于 l 的对称点的坐标 解法 2 是三角法 它 第 12 页 共 17 页 法 3 是极坐标法 巧妙利用

10、了 A B 的特殊位置 解法 4 是利用抛物线的参数方程去 解的 解法 5 和解法 7 是从寻找 A B 的坐标关系式入手的 分别用复数法和相似形法获 解 解法 6 把参数法与复数法结合起来 体现了思维的灵活性 总之 本例运用了解析几何 的多种方法 是对学生进行求异思维训练的极好例题 三 逆向思维 三 逆向思维 在人们的思维活动中 如果把 A B 的思维过程看作正向思维的话 那么就把与之相反的 思维过程 B A 叫做逆向思维 在平常的学习中 人们习惯于正向思维 而不善长逆向思维 因此 为了培养思维的多 向性和灵活性 就必须加强逆向思维训练 在解题遇到困难时 若能灵活地进行逆向思维 往往出奇制胜

11、 获得巧解 在解析几何中 培养学生逆向思维能力 要注意逆用解析式的几何意义 逆用曲线与方 程的概念和逆用圆锥曲线的定义 例 4例 4设 a b 是两个实数 A x y x n y na b n Z B x y x m y 3 m 2 5 m Z C x y x 2 y2 144 是平面 xOy 内的点焦 讨论是否存在 a 和 b 使得 1 A B 2 a b C 1985 年全国高考理科试题 解 解 由已知可得 a b 是否存在等价于混合组 以上二式的几何意义是 如图 1 9 在平面 aO b 中 na b 3 n 2 5 是直线 a2 b2 144 是圆面 即圆 x 2 y2 144 的边界

12、及其内部 因此 这个混合组有解的充要条件是直线 na b 3 n 2 5 与圆 a2 b2 144 有公共点 即圆心 O 0 0 到这条直线的距离 d 12 即 n 2 5 2 16 n2 1 n 4 6n2 9 0 即 n 2 3 2 0 又 n 2 3 2 0 n 2 3 这与 n 是整数矛盾 第 13 页 共 17 页 故满足题中两个条件的实数 a b 不存在 解说 解说 这种解法中 把混合组翻译成几何语言 直线和圆面是否有公共点 就是解析 法的逆向思维 教学实践表明 学生普遍认为这种解法难想 其实 难就难在逆向思维 普遍认为这种解法巧妙 其实 巧就巧在逆向思维 习题 1 2习题 1 2

13、 1 已知圆 C1 x 1 2 y 2 2 4 与圆 C 2 x 3 2 y 4 2 25 求它们外公切线交点 P 的 坐标 2 已知直线 l 过点 P 1 4 求它在两坐标轴正向截距之和最小时的方程 要求至少 5 种解法 要求至少 4 种证法 1992 年全国高考理科试题 4 长度为 3 的线段 AB 的两端点在抛物线 y 2 x 上移动 记线段 AB 的中点为 M 求点 M 到 y 轴的最短距离 并求此时点 M 的坐标 要求至少 4 种解法 1987 年全国高考理科试题 5 已知 2a 3b 5 求证 直线 ax by 5 0 必过一个定点 第 14 页 共 17 页 7 已知三个集合 M

14、 x y y 2 x 1 S x y 4x2 2x 2y 5 0 P x y y ax m 问是否存在正整数 a m 使得 M S P 其中 表示空集 习题 1 2 答案或提示习题 1 2 答案或提示 第 15 页 共 17 页 3 证法 1 设 A B 的坐标分别为 x1 y1 和 x2 y2 PA r 则圆 P 的方程为 x x0 2 y2 r2 与椭圆方程联立 消去 y 得 把 A B 的坐标代入椭圆方程中 后把所 2 2 点 P 的坐标为 t 0 则 t x0 c 由 PA PB 可得 第 16 页 共 17 页 第 17 页 共 17 页 5 逆用点在直线的概念 得定点为 2 3 6 在直角坐标系中 由已知两个等式可知 直线 ax by c 过点 重合的条件 可证得结论 也无实数解 故 a 1 m 2