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1、 年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题等差数列与等比数列教学目的教学内容第二节 等差数列（一）高考目标考纲解读1理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数的关系考向预测1以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查“方程思想”2以选择题、填空题的形式考查等差数列的性质3数列与函数交汇是解答题综合考查的热点（二）课前自主预习知识梳理1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母d表示2等差数列的通项公式如果等
2、差数列 的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是.(3)若是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为 .(4)若 ，bn是等差数列，则pqbn是 (5)若是等差数列，则ak，akm，ak2m，(k，mN)组成公差为的等差数列5等差数列的前n项和公式 设等差数列的公差为d，其前n项和Sn 或 .6等差数列的前n项和公式与函数的关系 数列是等差数列的充要条件是其前n项和公式Snf(n)是n的，即Sn 7在等差数列中，a10，d0，则Sn存在最 值；若a10，则Sn存在最 值8等差数列与等差数列各项的和有关的性质(1)若an是等差数列，则也成数列，其首项与an首项相同，公差是an公差的.(
3、2)Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，Sm，S2mSm，S3mS2m成 数列（3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质若项数为2n,则= , 若项数为2n-1，则=（n-1）,= . = , .(4)两个等差数列 、的前n项和、之间的关系为：= （三）基础自测1(2010重庆文)在等差数列an中，a1a910，则a5的值为()A5B6 C8 D10答案A解析本题考查等差数列的基本性质等差中项由等差中项知2a5a1a910，所以a55，故选A.2(2009安徽文)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，则a20等于()A1 B1 C3 D7答案B解析a
4、n是等差数列，a1a3a53a3105，a335，a2a4a63a499，a433，da4a32，a20a416d33321.3设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27答案B解析解法1：an是等差数列，S3、S6S3、S9S6为等差数列2(S6S3)S3(S9S6)，S9S62S63S345.解法2：Sn为等差数列an的前n项和，令bn，则bn成等差数列由题设b33，b66，b92b6b39.a7a8a9S9S69b93645.4(08广东)记等差数列an的前n项和Sn.若a1，S420，则S6()A16 B24 C36 D48答
5、案D解析设公差为d，由S66a1348.5(2010辽宁文)设Sn为等差数列an的前n项和，若S33，S624，则a9_.答案15解析考查等差数列性质及其通项公式解析：S33S624有a1a2a33a1a2a3a4a5a6243a23a213(a2a5)24a573d716d2 a9a54d7815.6(2009全国理)设等差数列an的前n项和为Sn.若a55a3，则_.答案9解析本题考查等差数列基本量的运算及其简单性质解法1：设等差数列an的公差为d，a55a3，a14d5(a12d)，a1d，9.解法2：，a55a3，5，9.点评比较上述两种解法，显然解法二利用了等差数列的性质，计算简单；
6、解法一利用了基本量之间的关系，计算较麻烦，但这是解决等差数列的通法7设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知a41，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn.解析由a41，S1575得，解得a12，d1.Sn2n1n2n，n，而，是公差为的等差数列，首项2.Tn2nn2n.（四）典型例题1.命题方向：等差数列中基本量的计算例1(2010全国卷文)记等差数列an的前n项和为Sn，S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.解析本题考查等差数列和等比数列的知识，渗透方程的思想，考查综合运算能力设数列an的首项为a1，公差为d.S33a212，a24，又2a1，a2，a31成等比数列
7、，a222a1(a31)16，即解得或Sn8n(4)2n210n或Snn3n2n.点评1.等差数列的通项公式ana1(n1)d及前n项和公式Snna1d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法跟踪练习1已知等差数列an中，公差d0，又a2a345，a1a414.(1)求数列an的通项公式；(2)记数列bn，数列bn的前n项和记为Sn，求Sn.解析(1)由题意得即.解得或(与d0矛盾，舍去)da3a24.ana2(n2)d54
8、(n2)4n3.(2)由(1)得an14n1.bn()Snb1b2bn(1)()()(1).2.命题方向：等差数列的判断与证明例2(2009湖北卷)已知数列an的前n项和Snann12(n为正整数)令bn2nan，求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式分析SnSn1an2nan2n1an11bnan.解析在Snann12中，令n1，可得S1a112a1，即a1.当n2时，Sn1an1n22，anSnSn1anan1n1，2anan1n1，即2nan2n1an11.bn2nan，bnbn11.即当n2时，bnbn11.又b12a11，数列bn是首项和公差均为1的等差数列于是bn1(n1
9、)1n2nan，an.点评1.由SnSn1an来转化为an与an1的递推关系时，要注意是n2成立，即要验证a1或b1是否成立2等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，anan1d(常数)(n2)，第二种是利用等差中项，即2anan1an1(n2)3解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断(1)通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即anAnB，则an是等差数列(2)前n项和法：若数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常数)，则an为等差数列提醒：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可跟踪练习2已知数列an的前n项和为Sn且满足an
10、2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式分析(1)由an与Sn的关系anSnSn1消去an，构造证明其为常数(2)由(1)可求，进而求出Sn，再求an.解析(1)anSnSn1(n2)，又an2SnSn1，Sn1Sn2SnSn1，Sn0.2(n2)由等差数列的定义知是以2为首项，以2为公差的等差数列(2)由(1)知(n1)d2(n1)22n，Sn.当n2时，有an2SnSn1，又a1，an.3.命题方向：等差数列的性质例3等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A130 B170 C210 D260解析解法1：将Sm30，S2m
11、100代入Snna1d得解之得d，a1.S3m3ma1d210.解法2：根据等差数列性质知：Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，从而有2(S2mSm)Sm(S3mS2m)S3m3(S2mSm)210.解法3：Snna1d，a1d，点(n，)是直线ya1上的一串点，由三点(m，)、(2m，)、(3m，)共线易知S3m3(S2mSm)210.解法4：令m1得S130，S2100，从而a130，a1a2100，得到a130，a270，a370(7030)110，S3a1a2a3210.答案C点评1.解法1利用方程思想；解法2设而不求、整体处理，利用等差数列依次每k项之和仍然成等差数列的性质；解法3是数形结合思想的运用；解法4利用选择题型的逻辑结构，采用赋值法2等差数列的简单性质：已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和(1)S2n1(2n1)an.(2)若n为偶数，则S偶S奇d.若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)(3)数列can，can，panqbn也是等差数列，其中c、p、q均为常数，bn是等差数列跟踪练习3(1)在等差数列an中，
