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1、1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编立体几何部分2019A7、如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，且将正方体分成体积比为的两部分，则的值为 答案：解析：作图延长交于点,连接交于点，则截面为，由于面面，知为棱台，则.不妨设正方体棱长为，则正方体体积为，结合条件知棱台的体积为，设，则，由于所以，解得。所以.2019B 4. 设三棱锥满足，则该三棱锥的体积的最大值为 答案： 解析：设三棱锥的高为取为棱的中点，则，当平面垂直于平面时，取到最大值此时三棱锥的体积取到最大值为。2018A 2、设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与平面所成角不小于且不大于，则这样的点所构成的区域的面积
2、为 答案：解析：设点在平面上的射影为，由条件知，即，所以区域的面积为。2018B 2、已知圆锥的顶点为，底面半径长为，高为在圆锥底面上取一点，使得直线与底面所成角不大于，则满足条件的点所构成的区域的面积为 答案： 解析:记圆锥的顶点在底面的投影为，则为底面中心，且，即，故所以区域的面积为。2017A 5、正三棱锥中，过的平面将其体积平分，则棱与平面所成角的余弦值为 答案： 解析：设的中点分别为，则平面即平面，则中线，则。又棱与平面的射影线是直线，而，所以，即为所求。2017B 5、在正四面体中，分别在棱上，满足，且与面 平行，则的面积为 答案：解析：由条件知，平行于，因为正四面体的各个面是全等
3、的正三角形，故，.由余弦定理得，同理有.作等腰底边上的高，则，故，于是.2016A 5、设为圆锥曲线的顶点，是其地面圆周上的三点，满足，为线段的中点。若，则二面角的大小为 答案：解析：由=90知，AC为底面圆的直径设底面中心为O，则平面ABC，易知，进而设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点在底面中作于点K，则由三垂线定理知，从而为二面角MBCA的平面角因，结合与平行知，即，这样故二面角MBCA的大小为2016B 7、已知正四棱锥的高等于长度的一半，是侧棱的中点， 是侧棱上点，满足，则异面直线,所成角的余弦值为 答案：解析：如图，以底面的中心为坐标原点，的方向为轴的正向，建立空间直角坐标系不
4、妨设此时高从而由条件知，因此设异面直线所成的角为，则2015B 4、设正四棱柱的底面是单位正方形，如果二面角的大小为，则 答案： 解析：取BD的中点O，连接OA, OA1 , OC1则A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，因此A1OC1=, 又OA1C1是等边三角形故A1O= A1C1=，所以2014A 5、正四棱锥中，侧面是边长为的正三角形，分别是边的中点，则异面直线与之间的距离为 答案： 解析：设底面对角线AC，BD交于点O，过点C作直线MN的垂线，交MN于点H。由于PO是底面的垂线，故POCH，又ACCH，所以CH平面POC，故CHPC。因此CH是直线MN与PC的公垂线段，又，故异
5、面直线MN与PC之间的距离是。2014B 2、在如下图所示的正方体中，二面角等于 答案： （亦可以写成等）解析：设与的交点为，显然，根据三垂线定理，与都垂直于，所以我们所求的角即为不妨设该正方体的棱长为，可以求得,由余弦定理可得，故二面角等于。2013A 4、已知正三棱锥的底面边长为，高为，则其内切球半径为 答案：解析：如图，设球心在面和面内的射影分别是和，中点为，内切球半径为，则共线，共线，且，,所以,解得2013B 4、已知正三棱锥的底面边长为1，高为，则其内切球半径是 答案：解析：如图，设球心在面和面内的射影分别是和，中点为，内切球半径为，则共线，共线，且，,所以,解得2012A 5、设
6、同底的两个正三棱锥和内接于同一个球.若正三棱锥的侧面与底面所成角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值为 答案：解析：如图.连结,则平面,垂足为正的中心,且过球心,连结并延长交于点,则为的中点,且,易知分别为正三棱锥的侧面与底面所成二角的平面角,则,从而,因为所以即所以,故2012B 6、长方体中，,是的中点，是的中点.若异面直线与所成的角为、距离为，则 答案：解析：如图，取的中点，则，故为异面直线与所成的角，即。因为面,，由三垂线定理得。又，所以，即。又面面，所以点到面的距离等于点到的距离。在中，在点到的距离为，从而点到的距离为，所以。（本题还可以建立空间直角坐标系来接）2011A 6、在
7、四面体中，已知,则在四面体的外接球的半径为 答案： 解析：设四面体的外接球球心为，则在过的外心且垂直于平面的垂线上由题设知，是正三角形，则点为的中心设分别为的中点，则在上，且，因为，设与平面所成角为，可求得在中，由余弦定理得，故四边形的外接圆的直径 故球的半径2010A B7、正三棱柱的条棱长相等，是的中点，二面角的平面角为，则 答案：解析：解法一：以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，.设分别与平面、平面垂直的向量是、，则，由此可设 ，所以，即.所以 .解法二：如图， .设与交于点 则 . 从而平面 .过在平面上作,垂足为.连结,则
8、为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中，,即 .又 .2008AB 4、若三个棱长均为整数（单位：）的正方体的表面积之和为，则这三个正方体的体积之和为（ ）A. 或 B. C. 或 D. 答案：A解析：设这三个正方体的棱长分别为，则有，即。不妨设，从而，故，只能取9、8、7、6 若，则，易知，得一组解若， 则，但，即，从而或5若，则无解；若，则无解因此c=8时无解若，则，有唯一解，若，则，此时，即。故，但，所以，此时无解综上，共有两组解或，体积为（cm3）或（cm3）。2008A B12、一个半径为的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁
9、的面积为 答案： 解析：如图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面/平面，与小球相切于点，则球心为正四面体的中心，垂足为的中心因，故，从而记此时小球与面的切点为，连接，则考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图2记正四面体的棱长为，过作于因，有，故小三角形的边长小球与面不能接触到的部分的面积为（如图2中阴影部分） 又，所以由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为2007*1、如图，在正四棱锥中，则二面角的平面角的余弦值为 A. B. C. D. 答案：B解析：如图，在侧面PAB内，作
10、AMPB，垂足为M。连结CM、AC，则AMC为二面角APBC的平面角。不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得。在AMC中，由余弦定理得。2007*9、已知正方体的棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体表面相交所得到的曲线的长等于 答案：解析：球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上，即面、面和面上；另一类在不过顶点的三个面上，即面、面和面上。在面上，交线为弧且在过球心的大圆上，因为，则。同理，所以，故弧的长为，而这样的弧共有三条。在面上，交线为弧且在距球心为的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为，所以弧的长为。这样的弧也有三条。于
11、是，所得的曲线长为。2006*4、在直三棱柱，。已知与分别为和的中点，和分别为线段和上的动点（不包含端点）。若，则线段的长度的取值范围为 A. B. C. D. 答案：A解析：建立直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，则（），（）。所以，。因为，所以，由此推出 。又，从而有 。2006*10、底面半径为的圆柱形容器里放有四个半径为的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 答案：解析：设四个实心铁球的球心为，其中为下层两球的球心，分别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为的正方形。所以注水高为。故应注水。2005*
12、4、如图，正方体，任作平面与对角线，使得平面与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为，周长为，则 A. 为定值，不为定值 B. 不为定值，为定值 C. 为定值，为定值 D. 不为定值，不为定值答案：B解析：将正方体切去两个正三棱锥和后，得到一个以平行平面与为上下底面的几何体，的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一边平行，将的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形,而多边形的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中）,显然，故为定值。当位于中点时，多边形为正六边形，当位于时，多边形为正三角形，可以求得周长为定值时，它们的面积分别为与，即
13、不为定值。2005*10、如图，四面体的体积为，且满足，则 答案：解析：即又等号当且仅当时成立，这时面，.2004*6、顶点为的圆锥的轴截面是等腰三角形，为底面圆周上的点，是底面圆周内的点，为底面圆心，垂足为，垂足为，且，为的中点，则当三棱锥的体积最大时，的长为 A. B. C. D. 答案：D解析：，得，得面，所以,面面，得面，所以，又，所以面即是三棱锥的高而的面积在时取得最大值此时，得,又解：连线如图，由C为PA中点，故，而 ()记，则，又所以令知，当，即时，取得最大，即三棱锥的体积取得最大时， 所以。2004*9、如图，正方体中，二面角的度数是 答案：解析：解：不妨设，作，则，可得所以所以,代入数据可得，得2003*6、在四面体中，设，直线与的距离为，夹角为，则四面体的体积等于
