《2019成都教师培训讲义--知识、方法和意识—— 拓展数学视野、掌握思想方法 （PDF无答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019成都教师培训讲义--知识、方法和意识—— 拓展数学视野、掌握思想方法 （PDF无答案）（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 知识 方法和意识知识 方法和意识 拓展数学视野 掌握思考方法 2019 9 一 从 断臂的维纳斯 说起 谈谈高考 一 从 断臂的维纳斯 说起 谈谈高考 19 全国一卷 4 古希腊时期 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之 比是 5151 0 618 22 称为黄金分割比例 著名的 断臂维纳斯 便是如此 此外 最 美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 2 若某人满足上述两个黄金分 割比例 且腿长为105cm 头顶至脖子下端的长度为26cm 则其身高可能是 A 165cm B 175cm C 185cm D 190cm 二 全国二卷 三卷 概率统计研究方向
2、 二 全国二卷 三卷 概率统计研究方向 1 19 全国一卷理 21 为治疗某种疾病 研制了甲 乙两种新药 希望知道哪种新药更有效 为此进行动物试 验 试验方案如下 每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验 对于两只白鼠 随机选一只施以甲药 另一只施 以乙药 一轮的治疗结果得出后 再安排下一轮试验 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时 就停止试验 并认为治愈只数多的药更有效 为了方便描述问题 约定 对于每轮试验 若施以甲药的白鼠治愈 且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分 乙药得1 分 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药 得 1 分 甲药得1 分 若都治愈或都未治愈则
3、两种药均得 0 分 甲 乙两种药的治愈率分别记为 和 一轮 试验中甲药的得分记为X 1 求X的分布列 2 若甲药 乙药在试验开始时都赋予 4 分 0 i p i 1 8 表示 甲药的累计得分为i时 最终认为甲 药比乙药更有效 的概率 则 0 0p 8 1p 11 1 iiii papbpcpi 2 7 其中 1 aP X 0 bP X 1 cP X 假设0 5 0 8 i证明 1 0 ii ppi 1 2 7 为等比数列 ii求 4 p 并根据 4 p的值解释这种试验方案的合理性 2 16 全国二卷理 18 某险种的基本保费为 a 单位 元 继续购买该险种的投保人称为续保人 续保人的本 年度的
4、保费与其上年度的出险次数的关联如下 上 年 度 出 险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0 85a a 1 25a 1 5a 1 75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下 一 年 内 出 险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0 30 0 15 0 20 0 20 0 10 0 05 I 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率 II 若一续保人本年度的保费高于基本保费 求其保费比基本保费高出 60 的概率 III 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 3 17全国三卷理18 某超市计划按月订购一种酸奶 每天进货量相同 进货成本每瓶4元 售价每瓶6元 未售 出的酸奶降价
5、处理 以每瓶2元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验 每天需求量与当天最高气温 单 位 有关 如果最高气温不低于25 需求量为500瓶 如果最高气温位于区间 20 25 需求量为300瓶 如果最高气温低于20 需求量为200瓶 为了确定六月份的订购计划 统计了前三年六月份各天的最高气温 2 数据 得下面的频数分布表 最高气温 10 15 15 20 20 25 25 30 30 35 35 40 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 1 求六月份这种酸奶一天的需求量X 单位 瓶 的分布列 2 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y 单位 元
6、当六月份这种酸奶一天的进货量 单位 瓶 为多少时 Y的数学期望达到最大值 一 一 概念概念清晰 清晰 扎实基础扎实基础 1 1 首先是意识的问题 首先是意识的问题 要有归类的意识 要把模型放到第一位 例 1 高考广东卷 17 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况 随机抽取该流水线上 40 件产品作为 样本称出它们的重量 单位 克 重量的分组区间为 490 495 495 500 510 515 由此得到样本的 频率分布直方图 如图所示 1 根据频率分布直方图 求重量超过 505 克的产品数量 2 在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件 设 y 为重量超过 505 克的 产品数量 求
7、y 的分布列 3 从该流水线上任取 5 件产品 求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率 下面是网上下载试题时给的答案 对吗 这不是小问题 我们到底要 关注什么 2 2 学会归类 关注模型中的基本问题 学会归类 关注模型中的基本问题 做每一个题 都要问一句 这是用到什么模型 为什么可以归结为这个模型 这个模型能转化成其它较简单 形式吗 为什么可以转化 一般先从古典概型开始考虑 其次是二项分布和超几何分布 例 2 把 5 个小球随机放入 5 个盒子 若某个事先指定的盒子中小球个数多于 3 就为中奖 求中奖的概率 学 生关注 排列组合 甚于对 模型选择 的关注 例 3 甲 乙两个围棋队各 5
8、 名队员按事先排好的顺序进行擂台赛 双方 1 号队员先赛 负者被淘汰 然后负方 的 2 号队员再与对方的获胜队员再赛 负者又被淘汰 一直这样进行下去 直到有一方队员全被淘汰时 另一方 获胜 假设每个队员的实力相当 且每场比赛之间没有影响 则甲方有 4 名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率 是 495 500 505 515 490 0 重量 克 频率 组距 0 03 0 01 0 05 0 04 510 0 07 3 例 4 湖南卷 17 右图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量 单位 吨 的频率分布直方图 I 求直方图中 x 的值 II 若将频率视为概率 从这个城市随机抽取 3 位居民 看
9、作有放回的抽样 求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望 解 2 2 知识的综合考察 蕴含在概率统计之中 知识的综合考察 蕴含在概率统计之中 例 5 18 全国一卷理 20 某工厂的某种产品成箱包装 每箱 200 件 每一箱产品在交付用户之前要对产品作检 验 如检验出不合格品 则更换为合格品 检验时 先从这箱产品中任取 20 件作检验 再根据检验结果决定是否 对余下的所有产品作检验 设每件产品为不合格品的概率都为 10 pp 且各件产品是否为不合格品相互独立 1 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 pf 求 pf的最大值点 0 p 2 现对一箱产品检验了 20
10、 件 结果恰有 2 件不合格品 以 1 中确定的 0 p作为p的值 已知每件产品的检验 费用为 2 元 若有不合格品进入用户手中 则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 若不对该箱余下的产品作检验 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X 求EX 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 是否该对这箱余下的所有产品作检验 例 6 湖北 20 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A B两种奶制品 生产 1 吨A产品需鲜牛奶 2 吨 使用设备 1 小时 获利 1000 元 生产 1 吨B产品需鲜牛奶 1 5 吨 使用设备 1 5 小时 获利 1200 元 要求每天B产品的产 量不超过A产品产量的
11、 2 倍 设备每天生产 A B两种产品时间之和不超过 12 小时 假定每天可获取的鲜牛奶数 量 W 单位 吨 是一个随机变量 其分布列为 W 12 15 18 P 0 3 0 5 0 2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产 使其获利最大 因此每天的最大获利Z 单位 元 是一个随机变量 求Z的分布列和均值 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立 求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率 例 7 对一批产品进行检验 规定 如果检查完第 0 n件仍未发现不合格品就认为这批产品合格 在此之前一旦检 查到不合格品即停止检查 且认为这批产品不合格 设产品数量很大 可以认为每次检查查到不合
12、格品与否相互 独立 查到不合格品的概率都是p 1 问平均每批要检查多少件 2 问对一批产品进行检验 检查件数取哪个值的概率最大 解 ppkP k 1 1 1 2 1 0 nk 1 0 0 1 n pnP 4 1 0 1 1 1 0 0 1 1 n n k k pnppkE p p n0 1 1 差比数列 错位相减 3 3 模型的等价性的问题模型的等价性的问题 例 8 贝特朗悖论 几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科 使很多概率问题的解决变得简单而不必用微积分的知识 然而 1899 年 法国学者贝特朗提出了所谓 贝特朗悖论 矛头直指几何概率概念本身 问题是这样的 在一给定圆内所有的弦中任选一
13、条弦 求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率 从不同方面考虑 可得不同结果 1 由于对称性 可预先指定弦的方向 作垂直于此方向的直径 见上面第一个图 a 只有交直径于 1 4 点 3 4 点间的弦 其长才大于内接正三角形边长 所有交点是等可能的 则所求概率为 1 2 2 由于对称性 可预先固定弦的一端 仅当弦与过此端点的切线的交角在 60 120 之间 见上面第 二个图 b 其长才合乎要求 所有方向是等可能的 则所求概率为 1 3 3 弦被其中点位置唯一确定 只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内 见上面第三个图 c 其长才合乎要求 中点位置都是等可能的 则所求概率为 1 4 这导致同
14、一事件有不同概率 因此为悖论 我不知道这个 100 多年前提出的问题是否有了定论 下面是在网上找到的我以为不错的解释 首先提出一个设想 弦某一范围的长度出现的概率不取决于垂直于此方向的直径的交点所构成的线段占该 直径的百分比 而是取决于弦的两个端点在圆上构成的弧的长度占圆的长度的百分比 因为圆弧是由圆上的两个 端点连接而成 因此要用两个端点在圆上构成的弧的长度占圆的长度的百分比来计算 出现三种答案的原因正是 将这一概率认为是垂直于此方向的直径的交点所构成的线段占该直径的百分比 现已将图 a 中圆的周长分成相等的六段 因为这六段等长 所以两个端点分别落在 3 4 段的概率为三分之 一 而落在 2
15、 5 段 或者 1 6 段的概率也为三分之一 由此可见 这一方法做出的答案应为三分之一 再看 b 图 1 2 3 三段等长 由于固定了一个端点 所以另一端点位于第 1 段中的概率为三分之一 这一 方法做出的答案为三分之一 c 图中 3 4 8 7 段相等 2 1 5 6 段相等 且 2 1 5 6 段中任意一段都是 3 4 8 7 段中任意 一段的一半 由于圆的不变性 我们可以只研究与红线平行的弦 当弦的两点分别位于 3 4 段的概率为三分之 一 位于 8 7 段的概率为三分之一 位于 2 1 段的概率为六分之一 位于 1 6 段的概率为六分之一 此方法 的答案也为三分之一 上面的问题也可以用
16、下面的例子解释 例 9 等腰直角ABC 90 B 在线段BC上随机取点M 求BAM 小于 30的概率 方法 1 找点D 使 30 BAD 则 BC BD P 3 3 方法 2 过点A在BAC 内部做射线 C A M B 5 则要使BAM 小于 30 射线应落在上面提到的BAD 内部 所以 45 30 P 你信哪一个 二 二 适当练习找随机变量及求相应得概率适当练习找随机变量及求相应得概率 1找到问题中的随机变量 指出其所有可能取值 及取得每个值的概率 即它的分布列 2计算平均值 期望 或根据以往学过的概率知识解决问题 例 10 用天平称某种物品的重量 砝码仅允许放在一个称盘中 物品的重量以相同的概率为 1 2 10 单位 克 现有 3 组砝码 甲组 1 2 2 5 10 克 乙组 1 2 3 4 10 克 丙组 1 1 2 5 10 克 问 若不考虑价格因素 实验室应配备哪一组砝码 例 11 甲 乙两人玩掷骰子游戏 甲掷 2 次 乙掷 3 次 各人的得分是各自所掷得点数中最大的 设甲的得分 为X 乙的得分为Y 现规定 当YX 时为甲获胜 当YX 时为乙获胜 你认为谁赢的可能性大 分析
