《高考数学《复习纲要》之外接球问题(2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学《复习纲要》之外接球问题(2)（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 28 个问题 空间球问题之外接球问题 一 重点知识点归纳 外接球 几何体的各个顶点都在同一个球上 则该球叫做几何体的外接球 注意 球心与小圆心的连线垂直于小圆圆面 A 为小圆上的一点 这样就会出现一个直角三角形 批注 外接球可以不画球 但不能不见解题心脏 1 秒杀 R 的方法 1 若几何体是三棱锥 四面体 满足 一条棱垂直于下底面 则 222 2cbalR 且下底面是直角三角形 2 若几何体是三棱锥 四面体 满足 对棱相等的三棱锥 2 秒杀r的方法 小圆一般是几何体下底面的外接圆 r是下底面的外接圆的半径 注意 某几何体的每个面都可以作底面 解题 心脏 必须掌握 R 为外接球半径 r为小圆
2、的半径 d为球心 O 到小圆的距离 cABOC bACOB aBCOA 2 2 222 cba R 222 rdR 1 若这个面为直角三角形 2 若这个面为一般的三角形 则利用正弦定理 3 若这个面为矩形或者正方形 4 若这个面为正六边形 3 秒杀d的给法 题目中若出现 直棱柱 则 111 2 CCBBAAh h d 侧棱长 二 题型归纳 题型 1 秒杀方法 解题心脏 例 1 已知 S A B C是球O表面上的点 SAABC 平面 ABBC 1SAAB 2BC 则球O表面积等于 A 4 B 3 C 2 D 变式 1 若三棱锥三个面两两垂直且面积分 别为 2 6 2 3 2 2 则该三棱锥的外接
3、球 的体积为 2 sinsinsin 为三角形外接圆的半径r r C c B b A a 外接圆的半径是斜边的一半 外接圆半径是对角线的一半 正六边形的外接圆的半径 等于正六边形的边长a 变式 2 在四面体 ABCD 中 3 24 BCADBDACCDAB 则该四面体的外接球的体积 变式 3 设三棱柱的侧棱垂直于底面 所有 棱长都为a 顶点都在一个球面上 则该 球的表面积为 A 2 a B 2 7 3 a C 2 11 3 a D 2 5a 变式 4 直三棱柱 111 CBAABC 的六个顶点 都在球 O 的球面上 若 90 2 0 ABCBCAB 22 1 AA 则球 O 的表面积为 题型
4、2 顶点 球心 小圆圆心 三点共线 针对椎体 解法归纳 1 何时利用三点共线 正棱锥 如正三棱锥 正四棱锥 侧棱长相等的棱锥 底面确定体积最大时 顶点无限制 2 解题模型 注意 一般建立两个方程 三点共线 解题心脏 hdR drR 222 解方程即可求出d 永远先解d 若直接取正值 矛盾 0d 11 dd则即若 例2 正四棱锥ABCDP 的5个顶点都在同 一个球面上 若正四棱锥的底面边长为 4 侧棱长为62 则此球的表面积为 变式 5 已知正三棱锥ABCP 的四个顶点 均在球O上 且 52 PCPBPA 32 ACBCAB则球O的表面积为 A 25B 6 125 C 2 5 D 20 变式 6
5、 在半径为 2 的球面上有不同的四个 点 A B C D 若2 ADACAB 则平面 BCD 被球所截的图形的面积 为 变式 7 已知点 A B C D 均在球O上 3 BCAB 3 AC 若三棱锥 ABCD 体积的最大值为 4 33 则球O的表面积为 36 AB 16C 12D 3 16 类型 3 已知椎体的高或求高且球心不在高线上 解法归纳 球心向高作 垂线 得到一个 直角三角形 矩形关键问题 求l 1 若 P 在下底面的投影落在下底面的顶 点上 则rl 立马可以推出 2 h d 2 若 P 在下底面的投影不落在下底面的 顶点上则 rl 利用化立体为平面 只研究下底面 即可来求l 例 3
6、已知三棱锥ABCP 中 ABC 是边长 为 6 的等边三角 ABCPA平面 且三棱锥外接球的表面积为 64 则 PA 变式 8 已知四棱锥ABCDP 的底面是正方形 2 23 2 PAB SACABCDPA平面 则该四棱锥的外接球的表面积是 变式 9 已知正方体 1111 DCBAABCD 的棱 长为 1 点 P 是线段 11C A上的动点 则三棱锥ABCDP 外接球半径 R 的取 值范围是 类型 4 已知某条棱是直径 SC 为直径 解法归纳 作一个球 只有这类题目 根据图象可得两个结论 2 到底面的距离为 Sh h d 得到两个垂直 0 0 90 90 SBC SAC 直径所对圆周角为 90
7、 例 4 已知三棱锥SABC 的所有顶点都在 球O的球面上 ABC 是边长为1的正三角 形 SC为球O的直径 且2SC 则此棱锥的体积为 A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 变式 10 已知球的直径 SC 4 A B 是该 球球面上的两点 AB 3 30 BSCASC 则棱锥S ABC的体积为 33 AB 32C 1 3D 变式 11 已知三棱锥ABCS 的所有顶点 都在球 O 的球面上 SC 是球 O 的直径 若平面 SCA 平面 SCB SA AC SB BC 三棱锥ABCS 的体积为 9 则球 O 的表面积为 三 课下巩固 高考 模拟题 1 已知四面体ABCP 中 1 3 BCACBCAC PAB 是正三 角形 且ABCPAB平面平面 则四面 体ABCP 的外接球的半径为 2 在四面体ABCS 中 平面SAC 平面 ABC AB BC AB BC 2 0 120 ASC 则该四面体的外接球的表面积为
