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1、高中数学导数压轴30题（解答题）解答题（共30小题）1设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1x2，（）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（）证明：f（x2）考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明。专题：计算题；证明题；压轴题。分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数f（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研
2、究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式。解答：解：（I）令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x（1，x1）时，f（x）0，f（x）在（1，x1）内为增函数；（2）当x（x1，x2）时，f（x）0，f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x（x2，+）时，f（x）0，f（x）在（x2，+）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a0，a=（2x22+2x2）f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22（2x22+2x2）ln（1+x2）设，则h（x）=2x2（2x+1）ln（1+x）2x=2
3、（2x+1）ln（1+x）（1）当时，h（x）0，h（x）在单调递增；（2）当x（0，+）时，h（x）0，h（x）在（0，+）单调递减故点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于基础题。2己知函数f（x）=x2ex（）求f（x）的极小值和极大值；（）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；根据实际问题选择函数类型；利用导数研究曲线上某点切线方程。专题：综合题；压轴题；转化思想；导数的综合应用。分析：（）利用导数的运算法则即可得出f（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求
4、出函数的极值；（）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可。解答：解：（）f（x）=x2ex，f（x）=2xexx2ex=ex（2xx2），令f（x）=0，解得x=0或x=2，令f（x）0，可解得0x2；令f（x）0，可解得x0或x2，故函数在区间（，0）与（2，+）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=故f（x）的极小值和极大值分别为0，（II）设切点为（），则切线方程为y=（xx0），令y=0，解得x=，因为曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数
5、，（0，x00或x02，令，则=当x00时，0，即f（x0）0，f（x0）在（，0）上单调递增，f（x0）f（0）=0；当x02时，令f（x0）=0，解得当时，f（x0）0，函数f（x0）单调递增；当时，f（x0）0，函数f（x0）单调递减故当时，函数f（x0）取得极小值，也即最小值，且=综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（，0）点评：本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力。3已知函数f（x）=lnx+x2（）若函数g（x）=f（x）ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，若a1，h（x）=e
6、3x3aexx0，ln2，求h（x）的极小值；（）设F（x）=2f（x）3x2kx（kR），若函数F（x）存在两个零点m，n（0mn），且2x0=m+n问：函数F（x）在点（x0，F（x0）处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由考点：函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程。 专题：计算题；压轴题；导数的概念及应用。分析：（）先根据题意写出：g（x）再求导数，由题意知，g（x）0，x（0，+）恒成立，即由此即可求得实数a的取值范围；（）由（）知，利用换元法令t=ex，则t1，2，则h（t）=t33at，接下来利用导数研究此函数的
7、单调性，从而得出h（x）的极小值；（）对于能否问题，可先假设能，即设F（x）在（x0，F（x0）的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnxx2kx结合题意，列出方程组，证得函数在（0，1）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴。解答：解：（）g（x）=f（x）ax=lnx+x2ax，由题意知，g（x）0，对任意的x（0，+）恒成立，即又x0，当且仅当时等号成立，可得（）由（）知，令t=ex，则t1，2，则h（t）=t33at，由h（t）=0，得或（舍去），若，则h（t）0，h（t）单调递减；若，则h（t）0，h（t）单调递增当时，h（t）取得极小值，极小值为（）设F（x
8、）在（x0，F（x0）的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnxx2kx结合题意，有得所以，由得所以设，式变为设，所以函数在（0，1）上单调递增，因此，yy|u=1=0，即，也就是此式与矛盾所以F（x）在（x0，F（x0）的切线不能平行于x轴点评：此题是个难题本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，根据解题要求选择是否分离变量，体现了转化的思想和分类讨论以及数形结合的思想方法，同时考查了学生的灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力。4已知函数f（x）=+cx+d（a，c，dR）满足f（0）=0，f（1）=0，且f（x
9、）0在R上恒成立（1）求a，c，d的值；（2）若，解不等式f（x）+h（x）0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）mx在区间m，m+2上有最小值5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由考点：导数的运算；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；其他不等式的解法。 专题：计算题；压轴题。分析：（1）待定系数法求函数解析式，由f（0）=0，f（1）=0，且f（x）0在R上恒成立列出三个方程，解出a、b、c（2）一元二次不等式解法，注意根之间比较，考查分类讨论思想（3）考查二次函数最值问题，考查分类讨论思想，对m进行讨论，看对称轴与区间的关系。解答：解：（1）f（0）=0，
10、d=0x+c及f（1）=0，有f（x）0在R上恒成立，即恒成立显然a=0时，上式不能恒成立a0，函数f（x）=a是二次函数由于对一切xR，都有f（x）0，于是由二次函数的性质可得即，即，解得：a=，（2）由f（x）+h（x）0，即即0，即当时，解集为（，b），当b时，解集为（b，），当b=时，解集为（3），f（x）=该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1假设存在实数m使函数区间mm+2上有最小值5当m1时，2m+1m，函数g（x）在区间m，m+2上是递增的g（m）=5，即解得，舍去当1m1时，m2m+1m+2，函数g（x）在区间m，2m+1上是递减的，而在区间2m+1，m+2上是递增的，g
11、（2m+1）=5即解得或m=，均应舍去当m1时，2m+1m+2，函数g（x）在区间m，m+2上递减的g（m+2）=5即解得或m=1+2其中m=12应舍去综上可得，当m=3或m=1+2时，函数g（x）=f（x）mx在区间m，m+2上有最小值5点评：本题考查导数的综合运用，具体包含导数的计算、恒成立问题、不等式的解法、待定系数法求函数解析式、二次函数最值问题，分类讨论思想，对学生有一定的能力要求，属于难题。5已知函数f（x）=（2a）（x1）2lnx，g（x）=xe1x（aR，e为自然对数的底数）（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；（）若对任意给定的x
12、0（0，e，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值。 专题：计算题；压轴题。分析：（）把a=1代入到f（x）中求出f（x），令f（x）0求出x的范围即为函数的增区间，令f（x）0求出x的范围即为函数的减区间；（）f（x）0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，）上无零点，只需要对x（0，）时f（x）0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；（）求出g（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g
13、（x）的值域，而当a=2时不合题意；当a2时，求出f（x）=0时x的值，根据x（0，e列出关于a的不等式得到，并根据此时的x的值讨论导函数的正负得到函数f（x）的单调区间，根据单调区间得到和，令中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出恒成立和解出得到，联立和即可解出满足题意a的取值范围。解答：解：（）当a=1时，f（x）=x12lnx，则f（x）=1，由f（x）0，得x2；由f（x）0，得0x2故f（x）的单调减区间为（0，2，单调增区间为2，+）；（）因为f（x）0在区间上恒成立不可能，故要使函数上无零点，
14、只要对任意的，f（x）0恒成立，即对恒成立令，则，再令，则，故m（x）在上为减函数，于是，从而，l（x）0，于是l（x）在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要a24ln2，+），综上，若函数f（x）在上无零点，则a的最小值为24ln2；（）g（x）=e1xxe1x=（1x）e1x，当x（0，1）时，g（x）0，函数g（x）单调递增；当x（1，e时，g（x）0，函数g（x）单调递减又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=ee1e0，所以，函数g（x）在（0，e上的值域为（0，1当a=2时，不合题意；当a2时，f（x）=，x（0，e当x=时，f（x）=0由题意得，f（x）在（0，e上不单调，故，即此时，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下： x （0，）
