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1、1 高中数学解题方法系列 函数中恒成立问题解题策略 函数的内容作为高中数学知识体系的核心 也是历年高考的一个热点 函数 类问题的解决最终归结为对函数性质 函数思想的应用 恒成立问题 在高中数 学中较为常见 这类问题的解决涉及到一次函数 二次函数 三角函数 指数与 对数函数等函数的性质 图象 渗透着换元 化归 数形结合 函数与方程等思 想方法 有利于考查学生的综合解题能力 在培养思维的灵活性 创造性等方面 起到了积极的作用 恒成立问题在解题过程中有以下几种策略 赋值型 一次函数型 二 次函数型 变量分离型 数形结合型 现在我们一起来探讨其中一些典型的问题 策略一 赋值型 利用特殊值求解策略一 赋
2、值型 利用特殊值求解 等式中的恒成立问题 常常用赋值法求解 特别是对解决填空题 选择题能 很快求得 例 1 例 1 由等式 x 4 a 1x 3 a 2x 2 a 3x a4 x 1 4 b 1 x 1 3 b 2 x 1 2 b 3 x 1 b4定 义映射 f a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 则 f 4 3 2 1 A 10B 7C 1D 0 略解略解 取 x 0 则 a4 1 b1 b2 b3 b4 又 a4 1 所以 b1 b2 b3 b4 0 故选 D 例 2 例 2 如果函数 y f x sin2x acos2x 的图象关于直线 x 8 对称 那么 a A 1B 1C
3、 2D 2 略解略解 取 x 0 及 x 4 则 f 0 f 4 即 a 1 故选 B 此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想 策略二 一次函数型 利用单调性求解策略二 一次函数型 利用单调性求解 给定一次函数 y f x ax b a 0 若 y f x 在 m n 内恒有 f x 0 则根 据函数的图象 线段 如下图 可得上述结论等价于 0 0 mf a 或 0 0 nf a 可合并定成 0 0 nf mf 同理 若在 m n 内恒有 f x 2a x 恒成立的 x 的取值范围 分析分析 在不等式中出现了两个字母 x 及 a 关键在于该把哪个字母看成是一 nmo x y nmo x y 2
4、 个变量 另一个作为常数 显然可将 a 视作自变量 则上述问题即可转化为在 2 2 内关于 a 的一次函数大于 0 恒成立的问题 解解 原不等式转化为 x 1 a x 2 2x 1 0 在 a 2 时恒成立 设 f a x 1 a x 2 2x 1 则 f a 在 2 2 上恒大于 0 故有 2 0 2 f f 即 01 034 2 2 x xx 解得 11 13 xx xx 或 或 x3 即 x 1 3 此类题本质上是利用了一次函数在区间 m n 上的图象是一线段 故只需保 证该线段两端点均在 x 轴上方 或下方 即可 策略三 二次函数型 利用判别式 韦达定理及根的分布求解策略三 二次函数型
5、 利用判别式 韦达定理及根的分布求解 对于二次函数 f x ax 2 bx c 0 a 0 在实数集 R 上恒成立问题可利用判别 式直接求解 即 f x 0 恒成立 0 0a f x g a 恒成立 则 g a f x min 若对于 x 取值范围内的任何一个数 都有 f x f x max 其中 f x max和 f x min分别为 f x 的最 大值和最小值 例 6 例 6 已 知 三 个 不 等 式 034 2 xx 086 2 xx 092 2 mxx 要使同时满足 的所有 x 的值满足 求 m 的取值范围 略解略解 由 得 2 x3 aaxxx恒成立 求实数 不等式对任意实数 21 构造函数 画出图象 得 a 3 利用数形结合解决恒成立问题 应先构造函数 作出符合已知条件的图形 再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系 得出答案或列出条件 求出参 数的范围 恒成立的题型和解法还有很多 只要我们充分利用所给定的函数的特点和性 质 具体问题具体分析 选用恰当的方法 对问题进行等价转化 就能使问题获 得顺利解决 只有这样才能真正提高分析问题和解决问题的能力
