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1、第 1 页 福建省泉州师院竞赛数学中心 陈景文福建省泉州师院竞赛数学中心 陈景文 初升高竞赛数学函数讲义 初升高竞赛数学函数讲义 例 1 若函数 2 1g xx 2 2 1 x f g x x 求 3 4 f 解析 只要将满足 3 4 g x 的x值求出来 然后代入 f g x即可 2 3 1 4 g xx 所以 2 1 4 x 1 2 x 因此 2 2 1 1 31 2 3 1 42 2 ffg 例 函数 f x的定义域是全体实数 并且对任意实数x y 有 f xyf xy 若 19 99f 求 2008 f 解析 设 0 fk 令0y 代入已知条件得 0 0 0 f x f xf xfk
2、即对任意实数x 恒有 f xk 所以 19 99f xf 所以 2008 99f 例 3 若对任意实数x 22 1 2 2 1 f x aaxax 总有意义 求实数a的取值范围 解析 欲使 22 1 2 2 1 f x aaxax 总有意义 令 22 2 2 1f xaaxax 则 0g x 或 0g x 对任意实数x均成立 于是问题等价于 1 2 22 20 2 4 2 0 aa aaa 2 2 22 20 2 4 2 0 aa aaa 3 2 20 20 aa a 由 1 解得 2a 或2a 由 2 解得 a不存在 由 3 解得 2a 于是实数a的取值范围为2a 或2a 例 4 若 2 4
3、3ymxxm 的定义域为一切实数 求m的取值范围 解析 由题意 2 43ymxxm 的定义域为一切实数 即对任意实数x 恒有 2 430mxxm 若0m 则43x 3 4 x 与题意不符 当0m 时 二次函数 2 430f xmxxm 的充要条件是 2 0 4 4 3 0 m m m 第 2 页 福福建建省省泉泉州州师师院院竞赛竞赛数数学学中中心心 陈陈景景文文 得4m 因此 m的取值范围是4m 例 5 已知二次函数 2 f xxpxq 且方程 0f x 与 2 0fx 有相同的非零实根 1 求 2 q p 的值 2 若 1 28f 解方程 0f x 解析 1 设 0f x 的两根为 1 x
4、2 x 且 12 xx 则 12 f xxxxx 12 2 2 2 fxxxxx 12 4 22 xx xx 于是 2 0fx 的两根为 1 2 x 2 2 x 且 12 22 xx 所以 2 1 2 x x 即 21 2xx 因此 12 2 12 212 21 1 1 1 x xq xx pxx xx 12 1 9 1 21 2 2 由 1 得 11 2 f xxxxx 又 1 28f 则 11 1 12 28xx 解之得 1 3x 或 9 2 于是 0f x 的两组解为 1 2 3 6 x x 或 1 2 9 2 9 x x 例 6 如果函数 2 f xxbxc 对任意实数t 都有 2 2
5、 ftft 求 1 f 2 f 4 f之间的大 小关系 解析 2 2 ftft 对任意实数t成立 因此 yf x 的图像的对称轴是2x yf x 的图像是开口向上的抛物线 因此当2x 时 y随着x的增大而增大 于是有 2 3 4 fff 但由对称性知 3 1 ff 故 2 1 4 fff 例 7 若 f x是一次函数 1 若 1 47ff xx 求函数 f x的表达式 2 若 1 1f 且 4 2 2 b ff k 求函数 f x的表达式 解析 1 设 0 f xkxb k 因为 1 1 f xk xbkxkb 又因为 1 ff xk kxkbb 22 47k xkkbbx 所以 2 2 4
6、7 k kkbb 解得 2 2 1 3 kk bb 所以 21f xx 或 23f xx 2 设 0 f xkxb k 因为 1 1f 所以 1kb 因为 2 2fkb 2 2 2ffkbkb 所以 2 4 22 b kbkb k 第 3 页 福福建建省省泉泉州州师师院院竞赛竞赛数数学学中中心心 陈陈景景文文 由 得1bk 代入 得 3 60kk 32 6 2 23 0kkkkk 得2k 则1b 所以 21f xx 例 8 求证 一次函数 2110 22 kk yx kk 的图像对一切有意义的k恒过一定点 并求这个定点 解析 由一次函数得 2 21 10 kykxk 21 2100 xykxy
7、 因为等式对一切有意义的k成立 所以得 210 2100 xy xy 解得 12 5 19 5 x y 当 12 5 x 19 5 y 时 一次函数解析式变为恒等式 所以函数图像过定点 12 19 55 例 9 已知m n c为常数 22 0mn 并且 1 1 mf xnfxcs 求 f x 解析 用1x 代换原方程的x 得 1 mfxnf xcx 用1x 代换原方程中的x 得 1 mf xnfxc x mn 得 22 m f xn f xmcxncxmcnc 因为 22 0mn 所以 22 c nn xmn f x mn 所以 cc f xx mnmn 例 10 已知函数 2 31yaxa
8、当自变量x的取值范围为35x 时 y既能取到大于 5 的值 又 能取到小于 3 的值 求实数a的取值范围 解析 显然2a 当2a 时 函数 2 31 35 y axax 的图像是一条左低右高的线段 y既能取到 大于 5 的值 又能取到小于 3 的值的等价条件是5x 对应的函数值大于 5 3x 对应的函数值小于 3 当 2a 时 已知函数的图像是一条左高右低的线段 可类似讨论 2 31 35 yaxax 的图像是一条线段 故y既能取到大于 5 的值 又能取到小于 3 的值的等价条 件是 20 2 5315 2 3313 a aa aa 或 20 2 5313 2 3315 a aa aa 2 2
9、16 73 a a 或 2 214 8 75 a aa 即a的取值范围为8a 第 4 页 福福建建省省泉泉州州师师院院竞赛竞赛数数学学中中心心 陈陈景景文文 例 11 如图 设 1 1 f xmxx m 其中0m 记 f x在01x 的最小值为 g m 求 g m及其最 大值 并作 yg m 的图像 1 O g m m 1 解析 111 1 f xmxxmx mmm 因为当1m 时 1 0m m f x为递增函数或常数函数 f x 在01x 上最小值 0 f 当01m 时 1 0m m f x为递增函数 f x在01x 上的最小值为 11 1 1fmm mm 所以 1 0 1 1 01 fm
10、g mm fmm 因此 1 g m m 在1m 上为递增函数 g mm 在01m 上为递增函数 故 g m的最大值为 1 1g 例 12 1 设抛物线 2 2yx 把它向右平移p个单位 或向下平移q个单位 都能使得抛物线与直线 4yx 恰好有一个交点 求p q的值 2 把抛物线 2 2yx 向左平移p个单位 向上平移q个单位 则得到的抛物线经过点 1 3 与 4 9 求p q的值 3 把抛物线 2 yaxbxc 向左平移三个单位 向下平移两个单位后 所得图像是经过点 1 1 2 的抛 物线 2 yax 求原二次函数的解析式 解析 1 抛物线 2 2yx 向右平移p个单位后 得到的抛物线为 2
11、2 yxp 于是方程 2 2 4xpx 有两个相同的根 即方程 22 2 41 240 xpxp 的判别式 22 41 4 2 24 0pp 所以 31 8 p 这时的交点为 33 1 8 8 抛物线 2 2yx 向下平移q个单位 得到抛物线 2 2yxq 于是方程 2 24xqx 有两个相同的根 即 14 2 4 0q 所以 31 8 q 这时的交点为 115 44 2 把 2 2yx 向左平移p个单位 向上平移q个单位 得到抛物线为 2 2 yxpq 于是 由题设得 2 2 32 1 92 4 pq pq 解得2p 1q 即抛物线向右平移了两个另个单位 向上平移了一个单位 3 首先 抛物线
12、 2 yax 经过点 1 1 2 可求得 1 2 a 第 5 页 福福建建省省泉泉州州师师院院竞赛竞赛数数学学中中心心 陈陈景景文文 设原来的二次函数为 2 1 2 yxhk 由题设知 30 20 h k 解得3h 2k 原二次函数为 2 1 3 2 2 yx 评注 将抛物线 2 yaxbxc 向右平移p个单位 得到的抛物线是 2 ya xpb xpc 向左平移p 个单位 得到的抛物线是 2 ya xpb xpc 向上平移q个单位 得到 2 yaxbxcq 向下平 移q个单位 得到 2 yaxbxcq 例 13 不论m取任何实数 抛物线 22 21yxmxmm 的顶点都在一条直线上 求这条直线
13、的函数解析式 解析 将二次函数变形为 2 1yxmm 知抛物线的顶点坐标为 1 xm ym 消去m 得 1xy 所以 1yx 例 14 设二次函数 2 f xaxbxc 满足条件 0 2f 1 1f 且其图像在x轴上所截得的线段 长为2 2 求这个二次函数的表达式 解析 由 0 2f 1 1f 得 2 1 c abc 即2c 3 ba 因此所求的二次函数是 2 3 2yaxax 由于二次函数的图像在x轴上所截得的线段长 就是方程 2 3 20axax 两根差的绝对值 而这二次 方程的两根为 2 1 3 3 8 2 2 aaa x a 于是 22 3 3 83 3 8 2 2 22 aaaaaa
14、 aa 即 22 22 3 829 8 aaaa aa 2 7290aa 1a 或 9 7 a 因此所求的二次函数表达式为 2 42yxx 或 2 912 2 77 yxx 例 15 已知点A B的坐标分别为 1 0 A 2 0 B 若二次函数 2 3 3yxax 的图像与线段AB恰 有一个交点 求a的取值范围 解析 设 2 3 3f xxax 由 1 2 0ff 得 1 1 2 a 由 1 0f 得1a 此时 1 1x 2 3x 符合题意 由 2 0f 得 1 2 a 此时 1 2x 2 3 2 x 不符合题意 令 2 3 30 xax 由判别式0 得32 3a 第 6 页 福福建建省省泉泉
15、州州师师院院竞赛竞赛数数学学中中心心 陈陈景景文文 当32 3a 时 12 3xx 不符合题意 当32 3a 时 12 3xx 符合题意 综上所述 a的取值范围是 1 1 2 a 或者32 3a 例 16 设baxxf 其中ba 为实数 1 xfxf 1 xffxf nn 3 2 1 n 若 381128 7 xxf 求ab 例 17 若函数 2 13 2 1 2 xxf在区间 ba 上的最小值为a2 最大值为b2 求 ba 例 18 1 证明 对任意 1 1x 均有 3 431xx 2 设a b c为实数 M是函数 32 4yxaxbxc 在 1 1x 上的最大值 证明 1M 并求等号成立时
16、 a b c的值 例 19 设 2 f xaxbxc a b cR 已知 1 1 0 1 1 1fff 求证 当 1 1 x 时 5 4 f x 例 20 已知 2 6f xxaxa yf x 的图像与x轴有两个不同的交点 1 0 x 2 0 x 且 1212 3 83 1 1 16 16 a a xxaxax 求a的值 解析 首先 由 2 3640aa 得0a 或 1 9 a 由题意 可设 2 12 6 f xxaxaxxxx 则 12 1 1 1 1 7xxfa 12 1 6 1 6 1 6 1 7axaxfaa 所以 3 83 17 a a a 解得 1 2 a 或者0a 舍去 故 1 2 a 例 21 求所有的整系数二次函数 2 f xaxbxc ab 使得 f ab f ba 解析 由题设得 3 aabcb 22 abbca 一 得 22 a bab baab 2 1 0ba aabb 因为ab 所以 2 0aabb 故1a b 令1bak k是整数 则 2 1 0aa akak 10aakk 所以 1 1 2ak 故 0 1 ak 2 3 3 2 于是 0 1 ab 1 1
