《专题07+用好导数、“三招”破解不等式恒成立问题（第一篇）-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题07+用好导数、“三招”破解不等式恒成立问题（第一篇）-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一方法综述不等式恒成立问题一直是高考命题的热点，把函数问题、导数问题和不等式恒成立问题交汇命制压轴题成为一个新的热点命题方向由不等式恒成立确定参数范围问题，常见处理方法有： 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）； 数形结合(图象在 上方即可)； 最值法：讨论最值或恒成立； 讨论参数.在诸多方法中，构造函数并利用导数研究函数的单调性、最值等，是必须要考虑的解题门径.本专题举例说明用好导数，“三招”破解不等式恒成立问题.二解题策略类型一 构造函数求最值【例1】【2018届湖南省益阳市高三4月调研】已知函数（aR，为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的最小值.【答
2、案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是.(2)-e.【解析】试题分析：（1）由题意，利用导数法进行讨论，由可求出函数的增区间，可求出函数的减区间，同时对参数进行分段讨论，从而问题即可得解；（2）由题意，可构造函数gx=xex+m-2e+1lnx+x-1，由此可将问题转化为计算，再根据导数进行运算求解，从而问题可得解.试题解析：（1）由题知，函数fx=2e+1lnx-3a2x+1的定义域是0,+.，当时，对任意恒成立，所以函数的单调递增区间是0,+，无单调递减区间；当a0时，令，得0x22e+13a；令，得；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.【指点迷津】1.首先要明确导函数对原函数的作
3、用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.2.在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.【举一反三】【2018届湖南省永州市三模】已知,g(x)=2e2x-2+2ln2x-b22+a2.（1）若对任意的实数a，恒有，求实数b的取值范围；（2）当2a4,b=-10a时，求证：方程f(x)=2ex-1+ex恒有两解.【答案】()(-1,2)；()详见解析（）方程f(x)=2ae
4、x-1+ex化为，令h(x)=ex-2alnx-5a， h(x)在（0，）上单调递增，h(1)=e-2a0，存在使h(x0)=0，即，在(0,x0)上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值 =2a(1x0+x0)-2aln2a-5a，0，在和各有一个零点，故方程恒有两解类型二 参变分离求最值【例2】【2018届山西省孝义市高三下学期一模】已知函数fx=ax-a+lnx.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，曲线总在曲线y=ax2-1的下方，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）a1.【解析】（1）由fx=ax-a+lnx可得fx的定义域
5、为，且fx=a+1x，若a0，则，函数在上单调递增；若a0，则当时，在上单调递增，当时，在上单调递减.综上，当a0时，函数在0,+上单调递增；当a0时，对x(-,0)或，g(x)0成立，所以函数在区间，上均是单调递增；当a0时，对或x(0,+)，g(x)0成立，所以函数g(x)=x-a2x 在区间，上均是单调递减；当a=0时，函数是常函数，无单调性. 【指点迷津】本例（2）f(x)mg(x)对任意恒成立，即lnx-mx-m2x0对任意恒成立，构造函数h(x)=lnx-mx-m2x，对这个函数求导研究函数的单调性，使得最值大于0即可.求导数后，为求的最小值，根据，对参数的取值进行讨论，确定了的符
6、号，从而明确的单调性、最值.【举一反三】【2018届四川高三（南充三诊）联合诊断】已知定义在上的偶函数在0,+上单调递减，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范是（ ）A. B. C. D. 2,e【答案】A（1）当时，即或时，在1,3上恒成立，单调递增，因为最小值，最大值，所以0a2+ln33，综上可得1a2+ln33；（2）当1a3，即00)恒成立，则实数的最大值为_【答案】9【解析】若对任意的x1,5， (aR,b0)恒成立，可得：-x+bx+2a-x+bx+6恒成立，令fx=-x+bx+2，gx=-x+bx+6，原问题等价于：fxmaxagxmin，结合对勾函数的性质分类讨论：(1)当时
7、，fxmax=f1=1-b，gxmin=g5=1-b5，原问题等价于存在实数a满足：1-ba1-b5，故，解得：，则此时；(2)当时，fxmax=f5=-3-b5，gxmin=g1=5-b，原问题等价于存在实数满足：-3-b5a5-b，故-3-b55-b，解得：，则此时；(3)当1b5,1b0,b5时，gxmin=g5=1-b5，原问题等价于存在实数满足：2-2ba1-b5，故2-2b1-b5，解得：5-25b5+25，则此时1b5；当4-45b0,b5时，gxmin=g1=5-b，原问题等价于存在实数满足：2-2ba5-b，故b+1b-3k(1-1x)在上恒成立，求的最大值【答案】（1）a=
8、1，f(x)在单调递减，在单调递增；（2）7.【解析】（2）x(1,+)时，1-1x ，2f(x)k(1-1x)等价于k2(lnx+1+2x)1-1x记g(x)= 2(lnx+1+2x)1-1x =2(xlnx+x+2)x-1，g(x)=2(x-lnx-4)(x-1)2 记(x)=x-lnx-4，有(x)=1-1x =x-1x ，(x)在(1,+)单调递增 (5.5)=1.5-ln5.5 =lne32-ln112，由于e333=27，(112)2=1214=30.25，可得e3(112)2因此e32112，故(5.5)ln2.52-ln6=ln6.25-ln60由零点存在定理可知，存在x0(5
9、.5,6)，使得(x0)=0，即x0-lnx0-4=0 且x(1,x0)时，g(x)0故x(1,x0)时，g(x)单调递减，x(x0,+)时，g(x)单调递增g(x)min=g(x0) =2(x0lnx0+x0+2)x0-1由可得 =2(x0-2) 故k的最大值为75.【2017课标3，理21】已知函数 .（1）若 ，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n ，求m的最小值.【答案】(1) ；(2) 【解析】试题分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点，列方程解得 ；(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得，结合可知实数 的最小值为6. 【2018届内蒙
10、古鄂伦春自治旗高三下学期二模（420模拟）】已知函数的图象在与轴的交点处的切线方程为y=9x-18.（1）求fx的解析式；（2）若21x+k-80fx9x+k对x1,5恒成立，求的取值范围.【答案】（1）fx=x3-6x2+21x-26（2）【解析】试题分析：（1）由切线方程为y=9x-18求得切点坐标，再利用导数的几何意义，可得f2=9和f2=0，即可求得的，b值，从而可的fx的解析式；（2）fxfx-9x=x3-6x2+12x-26对恒成立，设gx=x3-6x2+12x-26，利用导数研究的单调性，可得的最大值，再设hx=fx-21x+k-80=x3-6x2-k+54，利用导数研究hx的单调性，可得hx的最小值，从而可得k的取值范围.试题解析：（1）由9x-18=0得x=2.切点为.fx=3x2-12x+af2=a-12=9a=21,又f2=8-24+2a+b=0b=-26，fx=x3-6x2+21x-26. 7. 【2018届河南省焦作市高三第四次模拟】已知.（）若，讨论的单调性；（）当在处的
