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1、一方法综述导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究的单调性，往往需要解方程.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明 “三招”妙解导函数零点问题.二解题策略类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点【例1】【河北省武邑中学2019届高三上第三次调研】已知函数（1）当时，求在处的切线方程；（2）设函数，（）若函数有且仅有一个零点时，求的值；（）在（）的条件下，若，求m的取值范围。【答案】（1）（2）（）（）【解析】（2）（）令则即令h(x)
2、=1-(x-2)lnxx，则令，在上是减函数又所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当函数有且今有一个零点时，9分【指点迷津】1.由于导函数为超越函数，无法利用解方程的方法，可以在观察方程结构的基础上大胆猜测.一般地，当所求的导函数解析式中出现lnx时，常猜x1；当函数解析式中出现ex时，常猜x0或xln x.2.例题解析中灵活应用了分离参数法、构造函数法【举一反三】设.(1)若函数f(x)在(a，a1)上有极值，求实数a的取值范围；(2)若关于x的方程f(x)x22xk有实数解，求实数k的取值范围【答案】（1）(0,1)；（2）(，2【解析】(1)因为，当0x0；当x1时，f(
3、x)0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，故函数f(x)的极大值点为x1，所以a1a1，即0a1，故所求实数a的取值范围是(0,1)(2)方程f(x)x22xk有实数解，即f(x)x22xk有实数解设则.接下来，需求函数g(x)的单调区间，所以需解不等式g(x)0及g(x)0，因而需解方程g(x)0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解可得g(1)0，且当0x0，当x1时，g(x)0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值【答案】（1）f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增（2）2. (2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1
4、)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于令，则由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点故g(x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于k0对x1恒成立，知a0. 所以3ax2(32a)x(a22)0对x1，)恒成立令g(x)3ax2(32a)x(a22)，其对称轴为x，因为a0，所以，所以g(x)在1，)上为增函数，所以只需g(1)0即可，即a2a10，解得0a.综上，实数a的取值范围为
5、0, .函数h(x)g(x)在（，+）上递减又g(1)0，存在x0(0, )，使得g(x0)0.当0xx0时，g(x)0，函数g(x)在(0，x0)上递减；当x0x0，函数g(x)在(x0,1)上递增；当x1时，g(x)0，函数g(x)在(1，)上递减又当x时，g(x).又g(x)xln xx2x3x(ln xxx2)，当x0时，ln x0，则g(x)0，且g(1)0，b的取值范围为(，0【指点迷津】当导函数的零点不易求时，可以通过进一步构造函数，求其导数，即通过“二次求导”，避免解方程而使问题得解.如上面例题，从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(3)问要求参数b的范围问题，实际上是
6、求g(x)x(ln xxx2)极值问题，问题是g(x)ln x12x3x20这个方程求解不易，这时我们可以尝试对h(x)g(x)再一次求导并解决问题所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法这种方法适用于研究函数的单调性、确定极（最）值及其相关参数范围、证明不等式等.【举一反三】【吉林省通榆县第一中学2019届高三上期中】已知函数,R. （）当a=1时,求的单调区间和极值；（)若关于的方程f(x)=2ax2-2(a+1)x恰有两个不等实根,求实数的取值范围；【答案】（1）在(012)和(1+)上单调递增,在上单调递减，, ； （2）.【解析】（）解:当时,函数f(x
7、)=x2-3x+lnx,则f(x)=2x2-3x+1x=(2x-1)(x-1)x. 令,得,当变化时,fx,f(x)的变化情况如下表: (1,+)+0-0+极大值极小值在和上单调递增,在上单调递减. 当时,当时,. （）依题意,即. 则令r(x)=lnx+xx2,则. 当时,故单调递增（如图）, 且；当时,故单调递减,且.函数在处取得最大值. 故要使y=lnx+xx2与恰有两个不同的交点,只需.实数的取值范围是.三强化训练1.设函数满足，则时，的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D2【盐城市2019届高三第一学期期中模拟】已知函数，若函数fx存在三个单调区间，则实数的取值范围是_.
8、【答案】-1e2,0【解析】fx=lnx+1xx-a=lnx+1-ax 函数，若函数存在三个单调区间即fx=0有两个不等实根，即a=xlnx+1有两个不等实根，转化为y=a与y=xlnx+1的图像有两个不同的交点y=lnx+2令，即x=1e2，即y=xlnx+1在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增。ymin=-，当x（0，）时，y0，所以a的范围为-1e2,03.设定义域为的单调函数，对任意，都有，若是方程的一个解，且，则实数_【答案】1 4.【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数其中为自然对数的底数，若函数与的图象恰有一个公共点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】因为，所以
9、函数fx在区间上单调递增，且所以当时，与gx=mx有一个公共点；当时，令fx=gx，即有一个解即可.设，则得.因为当时，当时，所以当时，有唯一的极小值，即有最小值，所以当时，有一个公共点.综上，实数的取值范围是.5.【2018河南豫南九校第二次质量考评】已知函数.（1）若在处的切线是，求实数的值；（2）当时，函数有且仅有一个零点，若此时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（2）由已知（）即方程（）有唯一的实数根所以（）即直线与函数（）的图象有唯一的交点构造函数 （）（）令，而，；，；，；，且，；，所以已知可化为（）的最小值（）所以在上减，在上增所以综上实数的取值范围是6.【
10、2018四川成都双流中学9月月考文】已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时， 恒成立，求的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间为，递减区间为；（2）.【解析】 （2）若，当时， ， 在上单调递增，同），所以不符合题意（3）当时， 在上恒成立.在递减， .从而在上递减，即.结上所述， 的取值范围是.7.【2018广东深圳高三入学摸底】已知函数.（1）求函数的极小值；（2）若函数有两个零点，求证：.【答案】（1）极小值为（2）见解析（2）证明：由题可知.要证，即证，不妨设，只需证，令，即证，要证，只需证，令，只需证，在内为增函数，故，成立.所以原命题成立. 8.【2018广东省广州市
11、海珠区高三测试一（理）】已知函数.（1）若函数有零点，求实数的取值范围；（2）证明：当时， .【答案】（1）；（2）见解析.（2）要证明当时， ，即证明当时， ，即，令，则，当时， ；当时， .所以函数在上单调递减，在上单调递增.当时， .于是，当时， .令，则.当时， ；当时， .所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时， .于是，当时， .显然，不等式、中的等号不能同时成立.故当时， ).9.设函数， (1)当时，求函数的单调区间；(2)当， 时，求证： .【答案】(1)增区间为： ， .减区间为， .(2) 见解析。 (2)若证， 成立，只需证： ，即： 当时成立.设.，显然在内是增函数，且， ，在内有唯一零点，使得： ，且当， ；当， .在递减，在递增. ，.，成立.10【重庆市铜梁一中2019届10月月考】已知函数（其中e=2.71828.）.
