《2019高考数学（文）六大解答题突破高考解答题突破(四) 立体几何中的证明与计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高考数学（文）六大解答题突破高考解答题突破(四) 立体几何中的证明与计算（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考解答题突破(四)立体几何中的证明与计算突破“一建”建模思维流程技法点拨立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深解决这类题目的原则是建模将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型考向一证明线、面平行与垂直1证明平行关系(1)证明线线平行的常用方法利用三角形中位线定理证明：即遇到中点时，常找中位线，利用该定理证明利用平行四边形对边平行证明：即要证两线平行，以两线为对边构造平行四边形证明利用平行公理证明：即要证两线平行，找第三条线并证明其分别与要证两线平行即可(2)证明线面平行的常用方法利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转
2、化为证明线线平行利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行(3)证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个平面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行2证明垂直关系(1)证明线线垂直的常用方法利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直利用勾股定理的逆定理利用线面垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可(2)证明线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直利用常见结
3、论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等(3)证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决证明空间平行与垂直关系的步骤对点训练1如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB平面BB1C1C，BB12BC，D，E，F分别是CC1，A1C1，B1C1的中点，G在BB1上，且BG3GB1.(1)求证：B1D平面ABD；(2)求证：平面GEF平面ABD.证明(1)取BB1的中点为M，连接MD，如图所示因为BB12BC，且四边
4、形BB1C1C为平行四边形，所以四边形CDMB和四边形DMB1C1均为菱形故CDBBDM，MDB1B1DC1，所以BDMMDB190，即BDB1D.又AB平面BB1C1C，B1D平面BB1C1C，所以ABB1D.又ABBDB，所以B1D平面ABD.(2)如图，连接MC1，可知G为MB1的中点，又F为B1C1的中点，所以GFMC1.又MB綊C1D，所以四边形BMC1D为平行四边形，所以MC1BD，故GFBD.又BD平面ABD，所以GF平面ABD.又EFA1B1，A1B1AB，AB平面ABD，所以EF平面ABD.又EFGFF，故平面GEF平面ABD.考向二求空间几何体的体积1等积法：等积法包括等面
5、积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形或三棱锥的高，而通过直接计算得到高的数值2割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体对点训练2(2018山东济南一模)如图，在四棱锥PABCD中
6、，底面ABCD为等腰梯形，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PB的中点(1)证明：PD平面CEF；(2)若PE平面ABCD，PEAB2，求四面体PDEF的体积解(1)证明：连接BE，BD，BD交CE于点O，连接OF.E为线段AD的中点，BCADED，ADBC，BCED.四边形BCDE为平行四边形，O为BD的中点，又F是BP的中点，OFPD.OF平面CEF，PD平面CEF，PD平面CEF.(2)F为线段PB的中点，VPDEFVBDEFVPBDEVPABCD，VPABCDPE22.VPDEF.考向三立体几何中的探索性问题1条件追溯型解决此类问题的基本策略是执果索因其结论明确，需要求出使
7、结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，即可迅速找出切入点2存在判断型解决此类问题的策略：通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在解决线、面关系的探索性问题的两策略(1)通过观察确定点或直线的位置(如中点，中线)，再进行证明(2)把要得的平行当作已知条件，用平行的性质去求点、线对点训练3(2018郑州二模)如图，已知四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，PDEA，ADPD2EA2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点(1)求证
8、：FG平面PDE；(2)求证：平面FGH平面ABE；(3)在线段PC上是否存在一点M，使PB平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由解(1)证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FGPE.又FG平面PDE，PE平面PDE，所以FG平面PDE.(2)证明：因为EA平面ABCD，所以EACB.又CBAB，ABAEA，所以CB平面ABE.由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FHBC.则FH平面ABE.而FH平面FGH，所以平面FGH平面ABE.(3)在线段PC上存在一点M，使PB平面EFM.证明如下：如图，在PC上取一点M，连接EF，EM，FM.在直角三角形AEB中，
9、因为AE1，AB2，所以BE.在直角梯形EADP中，因为AE1，ADPD2，所以PE，所以PEBE.又F为PB的中点，所以EFPB.要使PB平面EFM，只需使PBFM.因为PD平面ABCD，所以PDCB，又CBCD，PDCDD，所以CB平面PCD，而PC平面PCD，所以CBPC.若PBFM，则PFMPCB，可得.由已知可求得PB2，PF，PC2，所以PM.专题跟踪训练(二十三)1如图，过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EFAB，使AB2EF，且平面ABFE平面ABCD，若点G在CD上且满足DGGC.求证：(1)FG平面AED.(2)平面DAF平面BAF.证明(1)因为DGGC，ABCD2
10、EF，ABEFCD，所以EFDG，EFDG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以FGED.又因为FG平面AED，ED平面AED，所以FG平面AED.(2)因为平面ABFE平面ABCD，平面ABFE平面ABCDAB，ADAB，且AD平面ABCD，所以AD平面BAF.又因为AD平面DAF.所以平面DAF平面BAF.2(2018河北衡水中学二模)如图，在底面为梯形的四棱锥SABCD中，已知ADBC，ASC60，ADDC，SASCSD2.(1)求证：ACSD；(2)求三棱锥BSAD的体积解(1)证明：设O为AC的中点，连接OS，OD.SASC，OSAC.DADC，DOAC.又OS，OD平面SOD，且O
11、SDOO，AC平面SOD，且SD平面SOD，ACSD.(2)连接BD，在ASC中，SASC，ASC60，点O为AC的中点ASC为正三角形，且AC2，OS.在ADC中，DA2DC24AC2，O为AC的中点，ADC90，且OD1.在SOD中，OS2OD2SD2SOD90.SOOD.又OSAC，且ACDOO，SO平面ABCD.VBSADVSBADSBADSOADCDSO.3(2018辽宁辽阳一模)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，且BC2AD4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AECF，得到如图所示的立体图形(1)证明：平面AEFD平面EBCF；(2)若BDE
12、C，求点F到平面ABCD的距离解(1)证明：由题意可得EFAD，ABEF.将梯形由题意折起后，结论依然成立，AEEF，又AECF，EFCFF，AE平面EBCF.AE平面AEFD，平面AEFD平面EBCF.(2)过点D作DGEF交EF于点G，连接BG，则DG平面EBCF.EC平面EBCF，DGEC.又BDEC，BDDGD，EC平面BDG.又BG平面BDGECBG.可得EGBBEC， BE2EGBCADBC8，EB2.设点F到平面ABCD的距离为h.BCAE，BCEB，AEEBE，BC平面AEB，ABBC.又AB4，SABCABBC8.又SBCF424，AEEB2，由VFABCVABCF可得SAB
13、ChSBCFAE，8h4216，解得h2.故点F到平面ABCD的距离为2.4(2018山东师大附中模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，BAC90，AA1BC，AA1AC2AB4，且BC1A1C.(1)求证：平面ABC1平面A1ACC1；(2)设点D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使得DE平面ABC1.若存在，求点E到平面ABC1的距离解(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，AA1AB.又AA1BC，ABBCB，A1A平面ABC.AC平面ABC，A1AAC.又A1AAC，A1CAC1.又BC1A1C，BC1AC1C1，A1C平面ABC1.又A1C平面A1ACC1，平面ABC1平面A1ACC1.(2)解法一：当点E为B1B的中点时，连接DE，如图，取A1A的中点F，连接EF，FD.EFAB，DFAC1，又EFDFF，ABAC1A，平面EFD平面ABC1，DE平面EFD，则DE平面ABC1.设点E到平面ABC1的距离为d，ABAC，且AA1AB，ACAA1A，AB平面A1ACC1，ABAC1.AB2，AC1
