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1、2013年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分1（3分）函数y=log2（x+2）的定义域是 2（3分）方程2x=8的解是 3（3分）抛物线y2=8x的准线方程是 4（3分）函数y=2sinx的最小正周期是 5（3分）已知向量，若，则实数k= 6（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是 7（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是 8（3分）在ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60，则b= 9（3分）正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为
2、 10（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 （结果用数值表示）11（3分）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn= 12（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=2232，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+23+232）+（22+223+2232）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 二选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，
3、否则一律得0分13（3分）展开式为adbc的行列式是（）ABCD14（3分）设f1（x）为函数f（x）=的反函数，下列结论正确的是（）Af1（2）=2Bf1（2）=4Cf1（4）=2Df1（4）=415（3分）直线2x3y+1=0的一个方向向量是（）A（2，3）B（2，3）C（3，2）D（3，2）16（3分）函数f（x）=的大致图象是（）ABCD17（3分）如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D18（3分）若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2（）A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D关于直线y=x对称19（3分）（1+x）10的二
4、项展开式中的一项是（）A45xB90x2C120x3D252x420（3分）既是偶函数又在区间（0，）上单调递减的函数是（）Ay=sinxBy=cosxCy=sin2xDy=cos2x21（3分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A1：2B1：4C1：8D1：1622（3分）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（）AZUNBNUNCU（u）DU023（3分）已知a，b，cR，“b24ac0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件24（3分）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作
5、直线AB的垂线，垂足为N若=，其中为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤25（7分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积26（7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积27（8分）已知数列an的前n项和为S，数列bn满足b，求28（13分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（1，0）、F2（1
6、，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程29（12分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F（1）点A，P满足当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由30（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且xn 是首项为1、公比为2的等比数列，记PnAPn+1=n，nN*（1）若，求点A
7、的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求n的最大值及相应n的值31（18分）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）b 是奇函数”（1）将函数g（x）=x33x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）= 图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）b 是偶函数”判断该命题的真假如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，
8、并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）2013年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分1（3分）函数y=log2（x+2）的定义域是（2，+）【分析】要使函数有意义，只需令x+20即可【解答】解：欲使函数有意义，须有x+20，解得x2，所以函数的定义域为（2，+）故答案为：（2，+）【点评】本题考查函数定义域的求法，属基础题2（3分）方程2x=8的解是3【分析】由已知条件2x=8=23，可得x=3，由此可得此方程的解【解答】解：由2x=8=23，可得x=3，即此方程的解为3，故
9、答案为 3【点评】本题主要考查指数方程的解法，属于基础题3（3分）抛物线y2=8x的准线方程是x=2【分析】根据抛物线方程的标准形式，可得抛物线以原点为顶点，开口向右，由2p=8算出=2，即可得到抛物线的准线方程【解答】解：抛物线的方程为y2=8x抛物线以原点为顶点，开口向右由2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=2故答案为：x=2【点评】本题给出抛物线的标准方程，求抛物线的准线方程，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题4（3分）函数y=2sinx的最小正周期是2【分析】根据函数y=2sinx的最小正周期是 ，运算可得结果【解答】解：函数y=2
10、sinx的最小正周期是 =2，故答案为 2【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题5（3分）已知向量，若，则实数k=【分析】根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可【解答】解：由，得1（k6）9k=0，解得k=，故答案为：【点评】本题考查向量共线的充要条件，若，则x1y2x2y1=06（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5【分析】利用辅助角公式把所给的函数解析式化为y=5sin（x+），再根据正弦函数的值域，求得它的最大值【解答】解：函数y=4sinx+3cosx=5（sinx+cosx）=5sin（x+），（其中，cos=，sin=） 故函数的最大值为5，故
11、答案为5【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题7（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是【分析】利用模长公式|z|=，代入计算即可得出复数2+3i（i是虚数单位）的模【解答】解：复数2+3i，2+3i的模 =故答案为：【点评】本题考查复数的概念及模长计算公式，是一道基础题8（3分）在ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60，则b=7【分析】根据余弦定理b2=a2+c22accosB，代入题中的数据得b2=25+64258cos60=49，解之即可得到b=7【解答】解：在ABC中，a=5，c=8，B=60，根据余弦定理，得b2=a2+
12、c22accosB=25+64258cos60=49解之得b=7（舍负）故答案为：7【点评】本题给出ABC两条边长及其夹角大小，求第三边的长度着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题9（3分）正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60【分析】连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角【解答】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1DB1C，则BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故
13、BA1D=60故答案为：60【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键10（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）【分析】先求对立事件“选出的3人中只有男同学或只有女同学”的概率，然后根据对立事件的概率和为1可得答案【解答】解：从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为：=，则选出的3人中男女同学都有的概率为：1=故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，属基础题11（3分）若等差数列的前
14、6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=【分析】设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得 ，解得a、b的值，即可求得数列的前n项和Sn的解析式【解答】解：设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得 ，解得 ，故数列的前n项和Sn=，故答案为 【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的结构特征，用待定系数法函数的解析式，属于基础题12（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=2232，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+23+232）+（22+223+2232）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，2000的所有
