《2019高考数学（理）六大解答题突破高考解答题突破(四) 空间向量与立体几何》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高考数学（理）六大解答题突破高考解答题突破(四) 空间向量与立体几何（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考解答题突破(四)空间向量与立体几何突破“两建”建模、建系思维流程 技法点拨立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深解决这类题目的原则是建模、建系建模将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型建系依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解考向一向量法证明线、面平行与垂直设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，平面、的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)，(、v0)(1)线面平行：laa0a1a3b1b3c1c30.(2)线面垂直：laaka1ka3，b
2、1kb3，c1kc3.(3)面面平行：vva3a4，b3b4，c3c4.(4)面面垂直：vv0a3a4b3b4c3c40. 探究追问本例用几何方法如何证明？谈谈你对两种方法的认识证明(1)在直三棱柱中有BB1AB.又ABBC，BB1BCB，AB平面BCC1B1，B1D平面BCC1B1，ABB1D.在矩形BCC1B1中，D为CC1的中点，且DCBCDC12，BDCB1DC145，BDB190，即B1DBD.又ABBDB.B1D平面ABD.(2)取BB1的中点H，则HC1BD.B1E1，B1H2，E为B1H的中点F为B1C1的中点，EFHC1，EFBD.EF平面ABD，BD平面ABD，EF平面AB
3、D.又G为A1C1的中点，GFA1B1AB，GF平面ABD，AB平面ABD，GF平面ABD.又GFEFF，平面EGF平面ABD.向量法证明平行与垂直的4个步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素(3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系(4)根据运算结果解释相关问题对点训练1(2018福州质检)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，PAAB2，BAD60，E是PA的中点(1)求证：直线PC平面BDE；(2)求证：BDPC.证明
4、设ACBDO.因为BAD60，AB2，底面ABCD为菱形，所以BO1，AOCO，ACBD.如图，以O为坐标原点，以OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，过点O且平行于PA的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)，D(1,0,0)，E(0，1)(1)设平面BDE的法向量为n1(x1，y1，z1)，因为(1，1)，(2,0,0)，由得令z1，得y11，所以n1(0,1，)又(0,2，2)，所以n10220，即n1，又PC平面BDE，所以PC平面BDE.(2)因为(0,2，2)，(2,0,0)，所以0.故BDPC.考向二向量法求直线与平面所
5、成的角求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为，则sin|cosn，a|.解(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AEFCBF，所以.又矩形ABCD中，AB1，AD，所以AE，AC.在RtBEA中，BE，所以AFAC，BFBE.在ABF中，AF2BF2221AB2，所以AFB90，求直线与平面所成角应注意的两点(1)准确求出平面的法向量(2)直线和平面所成的角的正弦值等于直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化对点训练2(2018昆明质检)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，M是AB的中点(1)求证：BC1平面MCA1.(2)若BMC是正三角形，
6、且ABBC1，求直线AB与平面MCA1所成角的正弦值解(1)证明：连接AC1，设AC1与A1C的交点为N，则N为AC1的中点，连接MN.又因为M是AB的中点，所以MNBC1.因为MN平面MCA1，BC1平面MCA1，所以BC1平面MCA1.(2)因为M是AB的中点，BMC是正三角形，所以ABC60，BAC30，ACB90.因为ABBC1，所以ACCC1.设BC1，则ACCC1.以C为原点，CC1为x轴，CB为y轴，CA为z轴建立如图的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，B(0,1,0)，A(0,0，)，A1(，0，)，M，所以(0,1，)，(，0，)设n(x，y，z)是平面MCA1的一个法向量
7、，则即令x1，得y，z1.所以平面MCA1的一个法向量为n(1，1)则|cos，n|.所以直线AB与平面MCA1所成角的正弦值为. 解(1)证明：因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.连接OB.因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.利用向量求二面角问题的策略(1)求空间中二面角的大小，可根据题意建立空间直角坐标系，再分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角(2)给出二面角的大小求解或证明相关问题，可利用求解二面角的方法列出相关的关系式，再根据具体问题
8、求解对点训练3如图1，正方形ABCD的边长为4，ABAEBFEF，ABEF.把四边形ABCD沿AB折起，使得AD平面AEFB，点G是EF的中点，连接AG，CG，BE，CE，CA，如图2.(1)求证：AG平面BCE.(2)求二面角CAEF的余弦值解(1)证明：连接BG.因为BCAD，AD底面AEFB，所以BC底面AEFB.又因为AG底面AEFB，所以BCAG.又因为ABEG，ABEFEG，ABAE，所以四边形ABGE为菱形，所以AGBE.又因为BCBEB，BE平面BCE，BC平面BCE，所以AG平面BCE.(2)由(1)知四边形ABGE为菱形，AGBE，AEEGBGAB4.设AGBEO，则由题计
9、算可得OEOB2，OAOG2.以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(2,0,0)，E(0，2，0)，F(4,2，0)，C(0,2，4)，D(2,0,4)，所以(2,2，4)，(2，2，0)设平面ACE的一个法向量为n(x，y，z)，则所以令y1，则可取n(，1，)又易知平面AEF的一个法向量为(0,0,4)，设二面角CAEF的大小为，由图易知，所以cos.考向四立体几何中的探索性问题1条件追溯型解决此类问题的基本策略是执果索因其结论明确，需要求出使结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，即可迅速找出切入点2存在判断型解决此类问题的策略：通常假
10、设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在 解(1)证明：连接BD，由于四边形ABCD是菱形，DAB，E是AB的中点，所以DEAB，因为四边形ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD且交线为AD，所以MA平面ABCD，向量法解决探索性问题的4步第一步建立坐标系：根据条件建立空间直角坐标系，必要时需证明线线垂直，求出相应点的坐标第二步求向量坐标：求直线的方向向量或平面的法向量的坐标，存在性问题一般用参数表示第三步求参数值：利用公式得出空间角的三角函数值
11、或参数值第四步下结论：根据角的范围核查结果，存在性问题依据参数值作出判断对点训练4.如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由解(1)如图所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.依题意得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E，所以，(1，0,1)，因为|cos，|.所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为.(2)假
12、设在线段AN上存在点S，使得ES平面AMN.连接AE，如图所示因为(0,1,1)，可设(0，)，又，所以.由ES平面AMN，得即解得，此时，|.经检验，当|AS|时，ES平面AMN.故线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，此时|AS|.专题跟踪训练(二十三)1如图，过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EFAB，使AB2EF，且平面ABFE平面ABCD，若点G在CD上且满足DGGC.求证：(1)FG平面AED.(2)平面DAF平面BAF.证明(1)因为DGGC，ABCD2EF，ABEFCD，所以EFDG，EFDG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以FGED.又因为FG平面AED，ED平面
13、AED，所以FG平面AED.(2)因为平面ABFE平面ABCD，平面ABFE平面ABCDAB，ADAB，且AD平面ABCD，所以AD平面BAF.又因为AD平面DAF.所以平面DAF平面BAF.2(2018安徽合肥一模)如图所示，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，四边形ABCD为菱形，BAD120，ABAA12A1B12.(1)若M为CD的中点，求证：AM平面AA1B1B.(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值解(1)证明：连接AC.四边形ABCD为菱形，BAD120，ACD为等边三角形又点M为CD的中点，AMCD.由CDAB得，AMAB.AA1底面ABCD，AM底面ABCD，AMAA1.又ABAA1A，AB平面AA1B1B，AA1平面AA1B1B，AM平面AA1B1B.(2)四边形ABCD为菱形，BAD120，ABAA12A1B12，DM1，AM，AMDB
