《哈密顿-凯勒定理的应用2012》由会员分享，可在线阅读，更多相关《哈密顿-凯勒定理的应用2012（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、凯勒-哈密顿定理的证明与运用题 目 ： 凯 勒 -哈 密 顿 定 理 的 应 用 学 院 ： 数 学 与 统 计 学 院 姓 名 ： 刘 燕 妮 班 级 ： 09 数 应 3 班 学 号 ： 291010321 - 1 -目 录一 定 理 内 容 2二 定 理 证 明 2-3三 定 理 运 用 2-51 在 证 明 当 中 的 运 用 32 计 算 多 项 式 的 值 33 计 算 矩 阵 的 高 次 幂 44 求 矩 阵 的 逆 45 求 矩 阵 的 最 小 多 项 式 5参 考 书 目 与 文 献 6- 2 -凯 勒 -哈 密 顿 定 理 的 证 明 及 其 运 用摘要: 在处理矩阵问题时
2、,利用特征理论是一大方法.哈密顿-凯莱定理揭示了方阵和它对应的特征多项式之间的关系,是特征多项式所具有的一个重要性质. 除在理论上极为重要外 ,对解决某些具体问题也有独特 的用处. 结合实例 ,介绍了哈密顿-凯莱定理的证明及其在证明及求方阵的逆阵、方阵的高阶幂中以及最小多项式;逆矩阵的应用. 关 键 词： n 阶矩阵，特征多项式，哈密顿凯莱定理，最小多项式，逆矩阵，方正的高阶幂、一、 哈密顿-凯勒定理内容设 A 是数域 P 上的 n 阶矩阵 A 的特征多项式为 f()=|E-A|= n+a1 n-1+an-1+a n 则 A 的多项式 f(A)为零矩阵。二、 哈密顿-凯勒定理的证明证明：设 B
3、（）是 E-A 的伴随矩阵，则由行列式的性质 B（） （E-A）= f()E,因为 B（）的元素是| E-A| 的各个代数余子式，都是 的多项式，次数不超过 n-1.则 B（ ）可以写成 B（）= n-1B0 + n-2B1+Bn-1 其中 B0B1B2Bn-1 都是 n*n 的数字矩阵.设 f()=| E-A|= n+a1 n-1+an-1+a n则 f()E=E n+Ea1 n-1+Ean-1+Ea n - 3 -B（ ） （E-A）=（ n-1B0 + n-2B1+Bn-1 ） （E-A） 由可得B0=E B0An = EAn=AnB1-B0A=a1E B1 An-1 - B0An =
4、a1 An-1B2-B1A=a2E B2 An-2-B1 An-1 = a2 An-2 Bn-1-Bn-2=an-1E Bn-1A-Bn-2 A2 = an-1 A-Bn-1A=anE - Bn-1A= anE以 An, An-1,A,E 分别右边乘的第一式，第二式，,第 n+1 式得到,再将（4）中的 n+1 个式子加起来，得到 f(A)=0.三 定理的运用1、 定理在证明当中的应用【例】 若 n 阶方正的特征值全为零，则必有某些自然数 k，使得 A 的 k 次方为零.证明：因为 A 的所有的特征值均为零 A 的特征多项式就为 f()= n. 由哈密顿定理，f(A)=An=0 所以比存在自然
5、数 k,使得 Ak=0.2、 定理在计算多项式的值.【例】设 A= 1 -33 -1 计算 A4-2A3+11A2-15A+ 29E.解：A 的特征多项式为 f()=|E-A|= -1 +3 = 2+8-3 +1 则由哈密顿凯勒定理，f(A)=A 2+8=0令 g()= 4-2 3+11 2-15+ 29.=( 2-2+3)( 2+8)+5g(A)=(A2-2A+3)(A2+8)+A+5E- 4 -=A+5E= 6 -3 3 -4 3、 计算矩阵的高次幂【例】设矩阵 A= 1 0 -1 ，计算 A100.0 2 0 0 2 解 :由 已 知 A 的 特 征 多 项 式 为 f()=|E-A|=
6、（-1 ） （- ） （- 2）由哈密顿凯勒定理 A3=E则 A100=(A3)33*A=A= 1 0 -1 0 2 0 0 2 4、求矩阵的逆说明：若 A 可逆，则它的特征多项式的常数项为 an=(-1)n 由哈密顿凯勒定理 f(A)= An+a1An-1+an-1A+an=0 所以-（1/a n）(A n-1+aAn-1+an-1)*A=E 从而 A-1=-（ 1/an）(A n-1+aAn-1+an-1)【例】设矩阵 A 为 1 -1 1 求 A-11 1 02 1 1A 的特征多项式为 f()=| E-A|= 3-3 2+2+E由哈密顿凯勒定理 A-1=A2-3A+2E = 1 2 -
7、1 -1 -1 1 -1 -3 2 - 5 -5 求矩阵的最小多项式 3 1 0【 例 】 设 矩 阵 A= 0 3 0 ， 求 矩 阵 的 最 小 多 项 式0 0 3解：矩阵的特征多项式为 -3 -1 0 =(-3) 30 -3 00 0 -3 最小多项式可能为(-3) 、 （ -3） 2、 （-3） 3 通过计算 A-3E 0， （A-3E） 2= 0 所以最小多项式为 m()=(-3) 2结束语本文介绍了哈密顿凯勒定理的内容及其一些应用，在解决实际问题的过程中，还要做到举一反三，灵活应用，这对解题能力的提高大有裨益。- 6 -参考文献1魏献祝. 高等代数M 上海，华东师范大学出版社，1998.2邱维生. 高等代数（下册） M 北京 高等教育出版社，2001.3杨子胥.高等代数习题集（修订版下册） M 济南 山东科学技术出版社，2002.4黄有度 狄承恩 矩阵论及其应用M 合肥 中国科学技术出版社 1997.5胡海清 线性代数解题分析M 长沙 湖南科学技术出版社 1987.6 王萼芳，石生明 高等代数M 高等教育出版社 2003.7 张禾瑞 郝锐新 高等代数 M 高等教育出版社 2007.
