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1、解答题滚动练3(A)1.已知ABC中，若角A，B，C对应的边分别为a，b，c，满足a4cos C0，b1.(1)若ABC的面积为，求a；(2)若A，求ABC的面积.解(1)由Sabsin Casin C，得asin C，即sin C.又a4cos C，那么216cos2C16(1sin2C)16，即a414a2490，得到a27，即a.(2)由题意有a4cos C及余弦定理cos C，则a4，即a21c2，又由b2c2a22bccos A，可知c2a21c，由得到c23c60，亦即(c)(c2)0，可知c或c2.经检验知，c或c2均符合题意.那么ABC的面积为Sbcsin A或 .2.网购是当
2、前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人.将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.(1)根据已知条件完成下面的22列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？网购迷非网购迷总计年龄不超过40岁年龄超过40岁总计(2)若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数的分布列与期望.附：K2.P(K2k0)0.150.100.050.01k02.0722.7063.8416.6
3、35解(1)由题意可得列联表如下：网购迷非网购迷总计年龄不超过40岁204565年龄超过40岁53035总计2575100假设网购迷与年龄不超过40岁没有关系，则K23.2972.706.所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关.(2)由频数分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数的所有取值为0，1，2，P(0)，P(1)，P(2)，所以的分布列为012P所以E()012.3.在几何体ABCDE中，CDAE，EAC90，平面EACD平面ABC，CD2EA2，ABAC2，BC2，F为BD的中点.(1)证明：EF平面ABC；(2)求直线A
4、B与平面BDE所成角的正弦值.(1)证明取BC的中点G，连接FG，AG，F为BD的中点，CD2EA，CDAE，FGCDEA，且FGAE，四边形AGFE是平行四边形，EFAG，EF平面ABC，AG平面ABC，EF平面ABC.(2)解EAC90，平面EACD平面ABC，且平面EACD平面ABCAC，EA平面EACD，EA平面ABC，由(1)知FGAE，FG平面ABC，又ABAC，G为BC的中点，AGBC，如图，以G为坐标原点，分别以GA，GB，GF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，0)，D(0，2)，E(1，0，1)，(1，0)，(0，2，2)，(1，1)，设平
5、面BDE的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，得n(0，1，)，直线AB与平面BDE所成角的正弦值为.4.在平面直角坐标系xOy中，点F1(，0)，圆F2：x2y22x130，以动点P为圆心的圆经过点F1，且圆P与圆F2内切.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若直线l过点(1，0)，且与曲线E交于A，B两点，则在x轴上是否存在一点D(t，0)(t0)，使得x轴平分ADB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.解(1)圆F2的方程可化为(x)2y216，故圆心F2(，0)，半径r4，而|F1F2|2|F1F2|，故点P的轨迹即曲线E是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆.显然c，a2，所
6、以b21，故曲线E的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的斜率不为0且存在时，设直线l：xny1，代入x24y240，得(n24)y22ny30，16(n23)0恒成立.由根与系数的关系，可得y1y2，y1y2，设直线DA，DB的斜率分别为k1，k2，则由ODAODB，得k1k20.所以2ny1y2(1t)(y1y2)0，将y1y2，y1y2代入得6n2n2nt0，因此n(t4)0，故存在t4满足题意.当直线AB的斜率为0时，直线为x轴，取A(2，0)，B(2，0)，满足ODAODB，当直线AB的斜率不存在时，取A，B，满足ODAODB.综上，在x轴上存在一点D
7、(4，0)，使得x轴平分ADB.5.已知函数f(x)x2acos x，g(x)是f(x)的导函数.(1)若f(x)在处的切线方程为yx，求a的值；(2)若a0且f(x)在x0处取得最小值，求a的取值范围.解(1)f(x)xasin x，fa，a1，经验证a1符合题意.(2)设g(x)f(x)xasin x，则g(x)1acos x.当a0时，f(x)x2，显然在x0处取得最小值，a0符合题意；当a0时，()当1，即0a1时，g(x)0恒成立，g(x)在(，)上单调递增，又g(0)0，当x0时，g(x)0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)0，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)
8、上单调递增，f(x)在x0处取得最小值，当0a1时，符合题意；()当01，即a1时，在(0，)内存在唯一x0使g(x)0，即cos x0.当x(0，x0)时，ycos x在(0，)上单调递减，cos xcos x0，g(x)a0，g(x)在(0，x0)上单调递减，g(x)g(0)0，即f(x)0，f(x)在(0，x0)上单调递减，当x(0，x0)时，f(x)f(0)，这与f(x)在x0处取得最小值，即f(x)f(0)矛盾，当a1时不合题意.综上，a的取值范围是0，1.6.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2.(1)写出曲线C的参数方程；(2)在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB的面积的最大值.解(1)由2，得22(sin cos 1)，所以x2y22x2y2，即(x1)2(y1)24，故曲线C的参数方程为(为参数).(2)由(1)可设点P的坐标为(12cos ，12sin )，0，2)，则矩形OAPB的面积为S|(12cos )(12sin )|12sin 2cos 4sin cos |.令tsin cos sin，t212sin cos ，S，故当t时，Smax32.
