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1、 定义 第二节 矩阵的运算 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 规定为 一 矩阵的加法一 矩阵的加法 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进 行加法运算 例如 2 矩阵加法的运算规律 1 定义 二 数与矩阵相乘 2 数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来 统称为矩阵的线 性运算 设 为 矩阵 为数 定义 并把此乘积记作 三 矩阵与矩阵相乘 设 是一个 矩阵 是一个 矩阵 那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 其中 例 设例2 故 解 注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时 两个矩阵才能相乘 例如 不存在 矩阵乘法的运算规律 其中 为数 若A是 阶矩阵 则 为A的
2、 次幂 即 并且 注意 矩阵不满足交换律 即 例 设 则 但也有例外 比如设 则有 例3 计算下列乘积 解 解 解 例4 由此归纳出 用数学归纳法证明 当 时 显然成立 假设 时成立 则 时 所以对于任意的 都有 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵 叫做 的转置矩阵 记作 例 四 矩阵的转置 转置矩阵的运算性质 例5 已知 解法1 解法2 定义设 为 阶方阵 如果满足 即 那末 称为对称矩阵 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 说明 如果 AT A 则称A为反对称矩阵 例6 设列矩阵 满足 证明 例7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和 证明 C为反对称矩阵 且
3、 所以B为对称矩阵 命题得证 共轭矩阵 定义 当 为复矩阵时 用 表示 的共轭 复数 记 称为 的共轭矩阵 运算性质 设 为复矩阵 为复数 且运算都是可行的 五 方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式 叫做方阵 的行列式 记作 或 运算性质 例8 证明 五 小结 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 对称矩阵 方阵的行列式 共轭矩阵 2 只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 且矩阵相乘 不满足交换律 1 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能 进行加法运算 注意 3 矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算 不同 思考题 成立的充要条件是什么 思考题解答 答 故 成立的充要条件为
