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1、欢迎学习微机应用软件 1 4 4解方程与方程组 解方程可分为两种 1 对符号变量方程求解析解 2 对非符号变量方程求数值解 一 求符号变量方程的解析解调用格式 solve eqn1 eqn2 var1 var2 其中eqni为方程 vari为求解变量 若不指定 则为默认值 1 求方程的解例1 symsabcx f a x 2 b x c solve f ans 1 2 a b b 2 4 a c 1 2 1 2 a b b 2 4 a c 1 2 也可对指定变量求解 b solve f b b a x 2 c x 例2 可直接将方程代入 s solve cos 2 x sin x 1 s 0
2、pi 1 6 pi 5 6 pi 例3 若符号表达式不含等号 则函数solve会自动将表达式转成等号右端为0的符号表达式 solve p tan x r ans atan r p 例4 符号运算将数值结果用精确值表示 不化为小数 s solve x 3 2 x 2 x 1 得到精确数值解 vpa s 10 化为10位数的小数 又 x solve 2 sin 3 x pi 4 1 x 5 36 pi 2 使用指令solve解方程组 x y solve 1 x 3 1 y 3 28 1 x 1 y 4 x y xy solve x y 98 x 1 3 y 1 3 2 uv solve u 3 v
3、 3 98 u v 2 或 symsuv ef solve u 3 v 3 98 u v 2 x y solve 1 x 3 1 y 3 28 1 x 1 y 4 symsxyzr1r2r3 xyz solve 1 x 1 y z 1 r1 1 y 1 z x 1 r2 1 z 1 x y 1 r3 symsxyalpha x y solve x 2 y 2 1 x y 2 alpha 二 求线性方程组的解析解与数值解对形式为Ax b的线性方程组 这里A是n m的矩阵 b是已知矢量 x是未知矢量 可分为三种 n m且A非奇异恰定方程可尝试计算精确解n m超定方程可尝试计算最小二乘解n m欠定方
4、程可尝试计算含有最少m的基解 A 35 7 2 123 198 b 34 56 27 x1 A b x2 linsolve A b 2 举例 恰定方程 1 调用格式 linsolve A b 求解析解 x A b 求数值解注意 A b可以是符号矩阵或数值矩阵 symsa11a12a13a21a22a23a31a32a33b1b2b3 A a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 b b1 b2 b3 X linsolve A b XX A b A为符号矩阵 超定方程 方程个数多于自变量个数 此时不存在唯一解 求解超定方程一般采用最小二乘法 例 x1 2x2 12x1 3x2
5、23x1 4x2 3a 12 23 34 b 1 2 3 x a bx 1 000 例 有一组实验数据 在时间t测得数值y 如表所示 这些数据被认为具有下面的衰减指数趋势 y t c1 c2e t求系数c1和c2 t 00 30 81 11 62 3 y 0 820 720 630 600 550 50 A ones size t exp t 将数据代入方程式y t c1 c2e t 中c A y A 1 00001 00001 00000 74081 00000 44931 00000 33291 00000 20191 00000 1003c 0 47600 3413 y t 0 4760
6、 0 3413e t Cdfc m 欠定方程 系统中未知数的个数比方程式的个数多 欠定方程的解都不唯一 Matlab会计算一组构成通解的基解 a 111 11 1 b 106 p a bp 8 000002 0000 三 求非线性方程组的数值解指令格式 x fsolve fun x0 x fsolve fun x0 options x fval fsolve fun x0 x fval零点的位置与对应的函数值 可以是矢量fun与非线性方程对应的函数 通常用M文件建立x0猜测的初始值 作为求解过程的出发点option控制算法的优化选项 例 qg m 解题步骤 将x y z看作矢量X的三个分量 编
7、写函数文件 猜测一个初始值 指令窗输入fsolve指令求解 见fxyz2 m 补充 1 符号函数求导及其应用指令格式 diff f 对缺省变量求微分diff f x 对指定变量x求微分diff f x n 对指定变量x求n阶微分 例1 symsxyzabt f 1 exp x 1 2 D diff f D 1 2 1 exp x 1 2 exp x 例2 y xcos x 求y y f x cos x d2 diff f x 2 d3 diff f x 3 ans 2 sin x x cos x ans 3 cos x x sin x f1 a cos t f2 b sin t yx1 dif
8、f f2 diff f1 yx2 diff f1 diff f2 2 diff f1 2 diff f2 diff f1 3 z x exp y y 2 zx diff z x z对x的偏导数 zy diff z y z对y的偏导数 2 符号积分与应用指令格式 例1 求不定积分 例1 求不定积分 x sym x f 3 x 2 int f ans 3 x 1 3 x 3 例2 求定积分 int abs 1 x 1 2 ans 1 2 例3 求定积分 f 1 1 x 2 int f inf inf ans pi 例4 求 int 4 t x x 2 sin t ans 2 t sin t 2 4 作业 1 解方程及方程组 2 有一组测量数据如下表所示 数据具有y a bx2的变化趋势 用最小二乘法求解y x 11 522 533 544 55 y 1 42 735 98 412 216 618 826 2 再见
