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1、 高考帮帮你实现大学梦想!2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷)本试卷共5页,150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项(1)已知集合A=xxyo,则(A)1x - 1y0 (B)sinx-siny0(C)(12)x (-12)y0(6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(A)16 (B)13(C)12(D)1(7)将函数y=sin(2x3)图像上的点P(4 ,t )向左平移s(s0)
2、个单位长度得到点P.若 P位于函数y=sin(2x)的图像上,则(A)t=12 ,s的最小值为6 (B)t=32 ,s的最小值为6 (C)t=12 ,s的最小值为3 (D)t=32 ,s的最小值为3 (8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则(A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 (B)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 (C)乙盒中红球不多于丙盒中红球 (D)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6
3、小题,每小题5分,共30分(9)设aR,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=_。(10)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为_.(用数字作答)(11)在极坐标系中,直线cos-3sin-1=0与圆=2cos交于A,B两点, 则 AB=_.(12)已知an为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=6 ,a3+a5=0,则S6=_.(13)双曲线 x2a2-y2b2=1 (a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2,则a=_.(14)设函数fx=x3-3x, xa,-2x, xa。 若a=0,则f(x)的
4、最大值为_; 若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是_。三、解答题(共6小题,共80分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)(15)(本小题13分)在ABC中,(I)求 的大小(II)求 的最大值(16)(本小题13分)A、B、C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时);A班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5(I) 试估计C班的学生人数;(II) 从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙,假设
5、所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;(III)再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1 ,表格中数据的平均数记为 0 ,试判断 0 和1的大小,(结论不要求证明)(17)(本小题14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD 平面ABCD,PAPD ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= ,(I)求证:PD平面PAB; (II)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(II I)在棱PA上是否存在点M,使得BMll平面PCD?若存在,求
6、 的值;若不存在,说明理由。(18)(本小题13分)设函数f(x)=xe +bx,曲线y=f(x)d hko (2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4,(I)求a,b的值; (I I) 求f(x)的单调区间。(19)(本小题14分)已知椭圆C: (ab0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面积为1.(I)求椭圆C的方程;(I I)设P的椭圆C上一点,直线PA与Y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N。求证:lANl lBMl为定值。(20)(本小题13分) 设数列A: , , (N2)。如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有 ,则称n是数列A的一个“G时刻”
7、。记“G(A)是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。(I)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出G(A)的所有元素;(I I)证明:若数列A中存在使得,则G(A) ;(I I I)证明:若数列A满足- 1(n=2,3, ,N),则G(A)的元素个数不小于 -。2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)参考答案一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)(1)C (2)C (3)B (4)D(5)C (6)A (7)A (8)B二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)(9) (10)(11) (12)(13) (14) 三、解答题(共6小题,共80分)(15)(共13分)解:
8、()由余弦定理及题设得.又因为,所以.()由()知.,因为,所以当时,取得最大值.(16)(共13分)解:()由题意知,抽出的名学生中,来自班的学生有名.根据分层抽样方法,班的学生人数估计为.()设事件为“甲是现有样本中班的第个人”,事件为“乙是现有样本中班的第个人”,由题意可知,;,.,.设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,因此().(17)(共14分)解:()因为平面平面,所以平面.所以.又因为,所以平面.()取的中点,连结.因为,所以.又因为平面,平面平面,所以平面.因为平面,所以.因为,所以.如图建立空间直角坐标系.由题意得,.设平面的法向量为,则即令,则.所以.又
9、,所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.()设是棱上一点,则存在使得.因此点.因为平面,所以平面当且仅当,即,解得.所以在棱上存在点使得平面,此时.(18)(共13分)解:()因为,所以.依题设,即解得.()由()知.由即知,与同号.令,则.所以,当时,在区间上单调递减;当时,在区间上单调递增.故是在区间上的最小值,从而.综上可知,故的单调递增区间为.(19)(共14分)解:()由题意得解得.所以椭圆的方程为.()由()知,设,则.当时,直线的方程为.令,得.从而.直线的方程为.令,得.从而.所以.当时,所以.综上,为定值.(20)(共13分)解:()的元素为和.()因为存在使得,所以.记,则,且对任意正整数.因此,从而.()当时,结论成立.以下设.由()知.设,记.则.对,记.如果,取,则对任何.从而且.又因为是中的最大元素,所以.从而对任意,特别地,.对.因此.所以.因此的元素个数不小于. 10 / 10