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谈一类递推数列求通项公式的典型方法除了我们经常接触的最基本的等差数列和等比数列之外,我们还经常遇到一类递推数列求通项的问题.它的基本形式是:已知及递推关系求.其求解方法有多种,下面结合具体例子介绍三种较为典型的解法.题目:在数列(不是常数数列)中,且,求数列的通项公式.解法一:因为,所以,所以,所以,数列是公比为的等比数列.又,所以,将代入上式可得.评注这种方法叫做差分法.即由条件进行递推可得,进一步可得,数列是公比为的等比数列,所以,再将代入即可求得.解法二:所给数列对应的特征方程为:,所以,特征根为.因为,所以,即数列是公比为的等比数列,又,所以,.故.评注:这种方法叫做特征根法,因为,所以满足(叫做此数列对应的特征方程)的存在,由可得,所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列或各项均为0,于是再根据条件,所以,.解法三:设,即与已知对比可得,所以,.所以,可得,即数列是公比为的等比数列或者各项均为0.(下同解法二).评注:这种方法通常叫做构造法.即由已知递推式的特点构造一个等比数列,再求通项公式.设,与原递推数列进行对比可以建立方程,求数所设实数的值即可得是以为首项,以为公比的等比数列.以上三种方法虽然各不相同,但是它们有一点是共同的,即构造一个等比数列,这就是本题的实质所在.
