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1、三 角 三角 三角 三角 5 2 1 任意角的三角函数的定义 初中锐角三角函数定义 正弦 余弦 正切 思考 角的范围已经推广 那么我们如何定义 任意角 的三角函数呢 A B 邻 边 斜 边 对 边 C 任意角三角函数的定义 已知 是任意角 P x y P x y 是角 的 终边与两个半径不同的同心圆的交点 则由相似三角形对应边成比例得 由于点 P P 在同一象限内 所以它们的坐标符号相同 因此得 P P y xO x y r y x r 所以当角 不变时 不论点 P 在角 的 终边上的位置如何 这三个比值都是定值 只 依赖于 的大小 与点 P 在 角 终边上的位 置无关 设角 的终边上的任意一
2、点P x y 点 P 到原点 的距离为 r 于是我们有如下定义 比值 叫做角 的余弦 记作 cos 比值 叫做角 的正弦 记作 sin 比值 叫做角 的正切 记作 tan 依照上述定义 对于每一个确定的角 都分别 有唯一确定的三角函数值与之对应 所以这三个对应 关系都是以角 为自变量的函数 分别称作角 的 余弦函数 正弦函数和正切函数 计算三角函数值的步骤 S1 画角 在直角坐标系中 作转角 S2 找点 在角的终边上任找一点P 使 OP 1 并量出该点的纵坐标和横坐标 S3 求值 根据三角函数定义 求出角 的三角函数值 三角函数求值 例 1 已知角 终边经过点 P 2 3 如图 求角 的三个三
3、角函数值 O y x P 2 3 解 已知点 P 2 3 则 例 2 试确定三角函数在各象限的符号 解 由三角函数的定义可知 sin 角 终边上点的纵坐标 y 的正 负 与角 的正弦值同号 cos 角 终边上点的横坐标 x 的正 负 与角 的余弦值同号 tan 则当 x 与 y 同号时 正切值为正 当 x 与 y 异号时 正切值为负 记忆口诀 全正 正弦 正切 余弦 x y o x y o x y o 三角函数在各象限的符号如下图所示 2 因为 130 是第二象限角 所以 cos 130 0 练习1 确定下列各三角函数值的符号 1 2 cos130 3 3 因为 是第三象限角 解 1 因为 是
4、第四象限角 所以 0 所以 0 例3 使用函数型计算器 计算下列三角函数值 1 sin67 5 cos372 tan 86 2 sin1 2 cos tan 1 以原点为圆心 半径为 1 的圆称为单位圆 2 如图 角 的终边与单位圆交于点P 则根据三角函数定义可知 点 P 的坐标 x y 分别为 cos 和 sin 即 P cos sin O M x A 1 0 y 1 P 由于 cos x OM sin y MP 于是我们把规定了方向的线段 OM 称作角 的余弦线 MP 称作角 的正弦线 单位圆与三角函数线 cos sin 练习 2 1 在单位圆中作出下列各角的正弦线 余弦线 1 2 y x O y x O P M P M 如何画正切线 y x O A T T 所以 AT AT 称作角 的正切线 附注 通过单位圆研究 三角函数的几何演 示过程可在主界面 单击 单位圆研究 三角函数 gsp 文 件观看 练习 2 2 在单位圆中作出下列各角的正切线 1 2 y x O y x OM M T A T A 本节课所学知识点 1 任意角三角函数的定义 代数表示 2 任意角三角函数值的求法 两种方法 3 任意角三角函数值的符号 记住口诀 4 任意角三角函数的几何表示 三角函数线 教材P138 练习 A 组 练习B 组
