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1、新人教版九年级数学 下册 第二十八章 28 2解直角三角形 2 用数学视觉观察世界用数学思维思考世界 在直角三角形中 除直角外 由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形 1 解直角三角形 1 三边之间的关系 a2 b2 c2 勾股定理 2 解直角三角形的依据 2 两锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 sinA 知识回顾 必有一边 如图 Rt ABC中 C 90 1 若 A 30 BC 3 则AC 2 若 B 60 AC 3 则BC 3 若 A AC 3 则BC 4 若 A BC m 则AC 1 如图 沿AC方向开山修路 为了加快施工进度 要在小山的另一边同时施工 从AC上的
2、一点B取 ABD 140 BD 520m D 50 那么开挖点E离D多远正好能使A C E成一直线 精确到0 1m BED ABD D 90 答 开挖点E离点D332 8m正好能使A C E成一直线 解 要使A C E在同一直线上 则 ABD是 BDE的一个外角 例4 2008年10月15日 神舟 7号载人航天飞船发射成功 当飞船完成变轨后 就在离地球表面350km的圆形轨道上运行 如图 当飞船运行到地球表面上P点的正上方时 从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置 这样的最远点与P点的距离是多少 地球半径约为6400km 结果精确到0 1km 分析 从飞船上能最远直接看到的地球上的点 应是
3、视线与地球相切时的切点 如图 O表示地球 点F是飞船的位置 FQ是 O的切线 切点Q是从飞船观测地球时的最远点 的长就是地面上P Q两点间的距离 为计算的长需先求出 POQ 即a 例题 解 在图中 FQ是 O的切线 FOQ是直角三角形 PQ的长为 当飞船在P点正上方时 从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009 6km 仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时 从下向上看 视线与水平线的夹角叫做仰角 从上往下看 视线与水平线的夹角叫做俯角 介绍 1 如图 为了测量电线杆的高度AB 在离电线杆22 7米的C处 用高1 20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a 30 求电
4、线杆AB的高 精确到0 1米 例2 热气球的探测器显示 从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30 看这栋高楼底部的俯角为60 热气球与高楼的水平距离为120m 这栋高楼有多高 30 60 120 A B C D 巩固练习 建筑物BC上有一旗杆AB 由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为60 观察底部B的仰角为45 求旗杆的高度 2 在山脚C处测得山顶A的仰角为45 问题如下 1 沿着水平地面向前300米到达D点 在D点测得山顶A的仰角为600 求山高AB D 2 在山脚C处测得山顶A的仰角为450 问题如下 变式 沿着坡角为30 的斜坡前进300米到达D点 在D点测得山顶A的仰角为600 求山高
5、AB D E F x x 3 在山顶上处D有一铁塔 在塔顶B处测得地面上一点A的俯角 60o 在塔底D测得点A的俯角 45o 已知塔高BD 30米 求山高CD 1 如图 某飞机于空中A处探测到目标C 此时飞行高度AC 1200米 从飞机上看地平面控制点B的俯角 30 求飞机A到控制点B的距离 2 两座建筑AB及CD 其地面距离AC为50 4米 从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角 300 测得其底部C的俯角a 600 求两座建筑物AB及CD的高 课本P92例4 3 如图3 从地面上的C D两点测得树顶A仰角分别是45 和30 已知CD 200m 点C在BD上 则树高AB等于 根号保留 4 如图
6、4 将宽为1cm的纸条沿BC折叠 使 CAB 45 则折叠后重叠部分的面积为 根号保留 6 如图2 在离铁塔BE120m的A处 用测角仪测量塔顶的仰角为30 已知测角仪高AD 1 5m 则塔高BE 根号保留 5 如图1 已知楼房AB高为50m 铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m 塔高CD为m 则下面结论中正确的是 A 由楼顶望塔顶仰角为60 B 由楼顶望塔基俯角为60 C 由楼顶望塔顶仰角为30 D 由楼顶望塔基俯角为30 C 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是 1 将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 转化为解直角三角形的问题 2 根据条件的特点 适当选用锐角三角函数
7、等去解直角三角形 3 得到数学问题的答案 4 得到实际问题的答案 新人教版九年级数学 下册 第二十八章 28 2解直角三角形 3 用数学视觉观察世界用数学思维思考世界 视线 视线 仰角 俯角 在进行观察或测量时 从上往下看 视线与水平线的夹角叫做俯角 从下向上看 视线与水平线的夹角叫做仰角 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角 叫做方位角 如图 点A在O的北偏东30 点B在点O的南偏西45 西南方向 方位角 介绍 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是 1 将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 转化为解直角三角形的问题 2 根据条件的特点 适当选用锐角三角函数等去解直角三
8、角形 3 得到数学问题的答案 4 得到实际问题的答案 例1 如图 一艘海轮位于灯塔P的北偏东60 方向 距离灯塔80海里的A处 它沿正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔P的南偏东30 方向上的B处 这时 海轮所在的B处距离灯塔P有多远 精确到0 01海里 60 30 P B C A 例4 海中有一个小岛A 它的周围8海里范围内有暗礁 渔船跟踪鱼群由西向东航行 在B点测得小岛A在北偏东60 方向上 航行12海里到达D点 这时测得小岛A在北偏东30 方向上 如果渔船不改变航线继续向东航行 有没有触礁的危险 B A D F 60 12 30 B A D F 解 由点A作BD的垂线 交BD的延长线于点
9、F 垂足为F AFD 90 由题意图示可知 DAF 30 设DF x AD 2x 则在Rt ADF中 根据勾股定理 在Rt ABF中 解得x 6 10 4 8没有触礁危险 30 60 1 如图所示 轮船以32海里每小时的速度向正北方向航行 在A处看灯塔Q在轮船的北偏东30 处 半小时航行到B处 发现此时灯塔Q与轮船的距离最短 求灯塔Q到B处的距离 画出图像后再计算 相信你能行 A 2 如图所示 一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60 方向 这艘渔船以28海里 时的速度向正东航行 半小时至B处 在B处看见灯塔M在北偏东15 方向 此时灯塔M与渔船的距离是 海里 海里C 7海里D 14海里 气
10、象台发布的卫星云图显示 代号为W的台风在某海岛 设为点O 的南偏东45 方向的B点生成 测得 台风中心从点B以40km h的速度向正北方向移动 经5h后到达海面上的点C处 因受气旋影响 台风中心从点C开始以30km h的速度向北偏西60 方向继续移动 以O为原点建立如图12所示的直角坐标系 1 台风中心生成点B的坐标为 台风中心转折点C的坐标为 结果保留根号 2 已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭 如果某城市 设为A点 位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上 那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间 解 1 2 过点C作于点D 如图2 则 在中 台风从生成到最初侵袭该城要
11、经过11小时 新人教版九年级数学 下册 第二十八章 28 2解直角三角形 4 用数学视觉观察世界用数学思维思考世界 修路 挖河 开渠和筑坝时 设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度 坡面的铅垂高度 h 和水平长度 l 的比叫做坡面坡度 或坡比 记作i 即i 坡度通常写成1 m的形式 如i 1 6 坡面与水平面的夹角叫做坡角 记作a 有i tana 显然 坡度越大 坡角a就越大 坡面就越陡 例5 如图 拦水坝的横断面为梯形ABCD 图中i 1 3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比 根据图中数据求 1 坡角a和 2 坝顶宽AD和斜坡AB的长 精确到0 1m 解 1 在Rt AFB中 AFB 90
12、在Rt CDE中 CED 90 19 4 6 如图一段路基的横断面是梯形 高为4米 上底的宽是12米 路基的坡面与地面的倾角分别是45 和30 求路基下底的宽 1 认清图形中的有关线段 2 分析辅助线的作法 3 坡角在解题中的作用 4 探索解题过程 练习 作DE AB CF AB 垂足分别为E F 由题意可知DE CF 4 2 米 CD EF 12 51 米 在Rt ADE中 因为所以 在Rt BCF中 同理可得因此AB AE EF BF 6 72 12 51 7 90 27 13 米 答 路基下底的宽约为27 13米 4如图 水库大坝的截面是梯形ABCD 坝顶AD 6m 坡长CD 8m 坡底
13、BC 30m ADC 1350 1 求坡角 ABC的大小 2 如果坝长100m 那么修建这个大坝共需多少土石方 结果精确到0 01m3 咋办 先构造直角三角形 如图 沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米 坡度由原来的1 2改成1 2 5 已知原背水坡长BD 13 4米 求 1 原背水坡的坡角和加宽后的背水坡的坡角 2 加宽后水坝的横截面面积增加了多少 精确到0 01 1 在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念 方位角 坡度 坡角等 2 实际问题向数学模型的转化 解直角三角形 知识小结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是 1 将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 转化为解直角三角形的问题 2 根据条件的特点 适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形 3 得到数学问题的答案 4 得到实际问题的答案
